Questão 2. Construa o gráfico da função f(x) = 2x − ln(x) e justifique sua construção. Solução: i) Veja que g(x) = 2x possui R como domínio, porém ...

Questão 2. Construa o gráfico da função f(x) = 2x − ln(x) e justifique sua construção. Solução: i) Veja que g(x) = 2x possui R como domínio, porém h(x) = − ln(x) tem como domínio (0,+∞), logo, Df = (0,+∞). ii) Como x > 0 para qualquer x ∈ Df , então não há valores negativos para serem avaliados no domínio da função, logo, f não é par e nem ímpar. iii) Como f ′(x) = 2− 1x = 0 ⇒ x = 12, temos o ponto crítico x = 12. Note que f ′(x) < 0 para x < 12 e f ′(x) > 0 para x > 12, assim temos x = 12 como um ponto de mínimo. Mais precisamente, como limx→0 2x− ln(x) = limx→+∞ 2x− ln(x) = +∞ temos x = 12 como um ponto de mínimo global. iv) Analisando a segunda derivada, veja que f ′′(x) = 1x2 > 0 ∀x ∈ Df. O que nos diz que não há ponto de inflexão e o gráfico da função possui concavidade para cima. v) Fazendo limx→0 f(x) = +∞. vemos que há uma assíntota vertical em x = 0. Por outro lado limx→+∞ f(x) = +∞. Portanto, não há assíntota horizontal. vi) Sabemos que x ̸= 0 para qualquer x ∈ Df . Por outro lado, o mínimo global é positivo, então f(x) = 2x− ln(x) > 0 para qualquer x ∈ Df . Curiosidade: Pela desigualdade de Bernoulli, temos que (1 + r)n ≥ 1 + r · n para qualquer n ∈ N e r > −1. Tomando r = 2xn, temos que(1 + 2xn)n ≥ 1 + 2x > x ⇒ (1 + 2xn)n > x. Tomando n = 2xt, então limn→+∞ (1 + 2xn)n = limt→+∞ (1 + 1t)2xt = e2x. Como (1 + 2xn)n é crescente, segue que e2x > (1 + 2xn)n > x ⇒ e2x > x. Portanto, ln(e2x) > ln(x) ⇒ 2x > ln(x) ⇒ 2x− ln(x) > 0. vii) Com essas informações podemos traçar o gráfico, que deverá ser da forma: Figure 2: Gráfico da função f.