C1 Lista Semanal 11 - 2023_2 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
2023 - 1º Semestre
Lista de Exercícios 11
Questão 1. Analise o gráfico abaixo e descreva o domínio mostrado, os sinais da
primeira e segunda derivadas e a simetria.
Figure 1: Gráfico de uma função.
Solução: Podemos notar que o gráfico está limitado ao intervalo [−6, 6], no entanto,
há duas assíntotas verticais: uma em x = −1 e outra em x = 1. Portanto, devemos
tirar estes valores do domínio. Assim, Df = {x ∈ [−6, 6]|x ̸= −1 e x ̸= 1}. A figura
também pode ser interpretada com o intervalo aberto ] − 6, 6[ fazendo o papel de
[−6.6].
Como f é crescente em I1 = [−6,−1) ∪ (−1, 0), então f ′(x) > 0 para qualquer
x ∈ I1. De maneira análoga, f é decrescente em I2 = (0, 1) ∪ (1, 6], então f ′(x) < 0
para qualquer x ∈ I2.
Pelas concavidades do gráfico, vemos que f ′′(x) > 0 em (−6,−1) ∪ (1, 6) e
f ′′(x) < 0 em (−1, 1).
Analisando a simetria com relação aos eixos coordenados, notamos que f(−x) =
f(x), logo, f é uma função par.
Questão 2. Construa o gráfico da função f(x) = 2x − ln(x) e justifique sua con-
strução.
Solução:
i) Veja que g(x) = 2x possui R como domínio, porém h(x) = − ln(x) tem como
domínio (0,+∞), logo, Df = (0,+∞).
ii) Como x > 0 para qualquer x ∈ Df , então não há valores negativos para serem
avaliados no domínio da função, logo, f não é par e nem ímpar.
1
Universidade Federal do Pará
Cálculo I Lista de Exercícios 11
iii) Como
f ′(x) = 2− 1
x
= 0 ⇒ x = 1
2
,
temos o ponto crítico x =
1
2
. Note que f ′(x) < 0 para x <
1
2
e f ′(x) > 0 para
x >
1
2
, assim temos x =
1
2
como um ponto de mínimo. Mais precisamente, como
lim
x→0
2x− ln(x) = lim
x→+∞
2x− ln(x) = +∞
temos x =
1
2
como um ponto de mínimo global.
iv) Analisando a segunda derivada, veja que
f ′′(x) =
1
x2
> 0 ∀x ∈ Df .
O que nos diz que não há ponto de inflexão e o gráfico da função possui concavi-
dade para cima.
v) Fazendo
lim
x→0
f(x) = +∞.
vemos que há uma assíntota vertical em x = 0. Por outro lado
lim
x→+∞
f(x) = +∞.
Portanto, não há assíntota horizontal.
vi) Sabemos que x ̸= 0 para qualquer x ∈ Df . Por outro lado, o mínimo global é
positivo, então f(x) = 2x− ln(x) > 0 para qualquer x ∈ Df .
Curiosidade: Pela desigualdade de Bernoulli, temos que
(1 + r)n ≥ 1 + r · n
para qualquer n ∈ N e r > −1. Tomando r = 2x
n
, temos que(
1 +
2x
n
)n
≥ 1 + 2x > x ⇒
(
1 +
2x
n
)n
> x.
Tomando n = 2xt, então
lim
n→+∞
(
1 +
2x
n
)n
= lim
t→+∞
(
1 +
1
t
)2xt
= e2x.
Como
(
1 +
2x
n
)n
é crescente, segue que
2
Cálculo I Lista de Exercícios 11
e2x >
(
1 +
2x
n
)n
> x ⇒ e2x > x.
Portanto,
ln(e2x) > ln(x) ⇒ 2x > ln(x) ⇒ 2x− ln(x) > 0.
vii) Com essas informações podemos traçar o gráfico, que deverá ser da forma:
Figure 2: Gráfico da função f.
Questão 3. Construa o gráfico da função f(x) = sen(2x+π) no intervalo
(
−π
2
,
π
2
)
e justifique sua construção.
Solução:
i) O domínio considerado para nossa função f será Df =
(
−π
2
,
π
2
)
.
ii) Usando soma de arcos, veja que
sen(2(−x) + π) = sen(π − 2x)
= sen(π) cos(2x)− sen(2x) cos(π)
= −(sen(2x) cos(π)−
���
���
���:0
sen(π) cos(2x))
= −(sen(2x) cos(π)− 0)
= −(sen(2x) cos(π) + 0)
= −(sen(2x) cos(π) + sen(π) cos(2x)))
= − sen(2x+ π)
Portanto, f(x) = sen(2x+ π) é uma função ímpar.
3
Cálculo I Lista de Exercícios 11
iii) Como x está variando apenas no intervalo
(
−π
2
,
π
2
)
, temos
f ′(x) = 2 cos(2x+ π) = 0 ⇒ x = π
4
ou
−π
4
,
temos os pontos críticos x =
π
4
e x = −π
4
. Note que f ′(x) > 0 para x ∈(
−π
2
,−π
4
)
∪
(π
4
,
π
2
)
e f ′(x) < 0 para x ∈
(
−π
4
,
π
4
)
, assim temos x =
π
4
x = −π
4
como um ponto de mínimo e máximo, respectivamente.
iv) Analisando a segunda derivada, veja que
f ′′(x) = −4 sen(2x+ π)
nos diz que f ′′(x) < 0 se x ∈
(
−π
2
, 0
)
, ou seja, temos uma concavidade para
baixo, e f ′′(x) > 0 se x ∈
(
0,
π
2
)
, ou seja, temos uma concavidade para cima.
Temos também um ponto de inflexão em x = 0.
v) Sabe-se que −1 ≤ sen(2x+ π) ≤ 1.
vi) Sabemos que para x = 0 temos f(x) = 0. Por outro lado, f(x) = 0 implica
x = −π
2
, x = 0 ou x =
π
2
.
vii) Com essas informações podemos traçar o gráfico, que deverá ser da forma:
Figure 3: Gráfico da função f.
Questão 4. Suponha que a diminuição da pressão sanguínea de uma pessoa dependa
de uma determinada droga que ela deverá tomar. Assim, se x mg da droga forem
tomados, a queda na pressão sanguínea será uma função de x. Seja f(x) = 1
2
x2(k−x),
onde x está em [0, k] e k é uma constante positiva. Determine o valor de x que cause
o maior decréscimo na pressão sanguínea.
4
Cálculo I Lista de Exercícios 11
Solução: Para obter o maior decréscimo na pressão sanguínea devemos encontrar a
quantidade da droga para o qual f(x) é máximo. Para isso vamos utilizar o método
do intervalo fechado. Dessa forma, vamos encontrar a derivada de f(x).
f ′(x) =
[
1
2
x2(k − x)
]′
f ′(x) = x(k − x) + x
2(−1)
2
f ′(x) = x(k − x)− x
2
2
.
Para encontrar os números críticos
x(k − x)− x
2
2
= 0
x
(
k − 3
2
x
)
= 0x1 = 0x2 = 2
3
k
Os candidatos a serem máximo serão: x = 0, x = 2
3
k e x = k. Calculando a imagem
de cada um: f(0) = 0, f(2
3
k) = 2k
3
27
e f(k) = 0. Portanto, o máximo decréscimo na
pressão sanguínea vai ocorrer quando a pessoa ingerir: 2
3
k da droga.
Questão 5. Um engenheiro deseja construir uma fortificação para a Marinha do Brasil.
As paredes da base são na forma de um cilindro circular reto, e o teto na forma de
abóboda esférica. Se o custo superficial (área de preenchimento da região semiesférica
do topo) da construção da abóboda é 2 vezes mais caro que a parede do cilindro (área
lateral), qual raio trará a configuração mais econômica, considerando o volume da
construção constante e igual a V ?
Solução: O volume de toda fortificação será dado pela soma do volume do cilindro
e do volume da semiesfera. Dado que h é a altura do cilindro e r é o raio do cilindro
e da semiesfera,
V = πr2h+
1
2
· 4
3
πr3 .
Vamos utilizar essa equação para isolar o parâmetro h, a fim de construir a função de
custo em função do raio (sendo que o parâmetro volume é constante). Dessa forma,
isolando h
h =
V
πr2
− 4
6
r .
Construindo a função custo C(r), com k uma constante real para representar o efeito do
5
Cálculo I Lista de Exercícios 11
custo proporcional as áreas das regiões: superficiais do cilindro e do teto semiesférico.
C(r) = k(2πrh) + 2k
(
1
2
· 4πr2
)
C(r) = k(2πrh+ 4πr2)
C(r) = k
(
2πr
(
V
πr2
− 4
6
r
)
+ 4πr2
)
C(r) = k
(
2V
r
− 8πr
2
6
+ 4πr2
)
C ′(r) = k
(
−2V
r2
− 16πr
6
+ 8πr
)
.
O ponto crítico será obtido igualando a derivada a zero e isolando r, temos que
−2V
r2
− 16πr
6
+ 8πr = 0
8πr − 16πr
6
=
2V
r2
48πr − 16πr
6
=
2V
r2
32πr
6
=
2V
r2
32πr3 = 12V
r3 =
12V
32π
r =
3
√
3V
8π
.
A segunda derivada de C(r) será
C ′′(r) =
4V
r3
− 16π
6
+ 8π .
Substituindo r = 3
√
3V
8π
em C ′′(r), temos que
C ′′
(
3
√
3V
8π
)
=
4V(
3
√
3V
8π
)3 − 16π6 + 8π
= 4V · 8π
3V
+
−16π + 48π
6
=
4 · 16π
6
+
−16π + 48π
6
=
(64− 16 + 48)π
6
=
96π
6
Pelo teste da segunda derivada, r = 3
√
3V
8π
é mínimo, visto que 96π
6
> 0. Portanto, o
valor do raio para o menor custo da construção da fortificação será dado por r = 3
√
3V
8π
.
6
Cálculo I Lista de Exercícios 11
Questão extra 1: Considere que você deve imprimir um documento. O número de
páginas deste arquivo varia de acordo com o tamanho da fonte x segundo a expressão
f(x) = 7, 5x − 12, onde o tamanho da fonte é um valor entre 8 e 18. Considere
também que o preço praticado pela xerox varia de acordo com o número de páginas
do documento segundo as regras:
1) Até 60 páginas é cobrado 25 centavos por página.
2) Mais que 100 páginas serão cobradas 10 centavos cada página;
3) Entre 60 e 100 páginas o preço decresce linearmente desde 25 centavos por página
(quando forem 60 páginas) até o preço de 10 centavos por página (quando forem
100 páginas).
Determine qual a fonte a ser utilizada para minimizar os custos de impressão deste
documento.
Solução: Primeiramente, para determinar a equaçãoda reta: ax+ b que descreve o
o preço decrescente do item 3 do problema, tem-se que calcular o coeficiente angular
a.
a =
0, 10− 0, 25
100− 60
=
−0, 15
40
= −0, 00375 ,
−0, 00375 · 100 + b = 0, 1 , então b = 0, 475 .
A quantidade de folhas é uma função do número da fonte utilizada com seguinte
relação: f(x) = 7, 5x− 12, dado que o tamanho da fonte varia entre 8 ≤ x ≤ 18. A
função custo será uma função do número de páginas de acordo com as condições do
problema.
C(f(x)) =

0, 25f(x) se f(x) < 60 ,
(−0, 00375f(x) + 0, 475) · f(x) se 60 ≤ f(x) ≤ 100 ,
0, 1f(x) se f(x) > 100 .
Podemos fazer a composição da função C(f(x)) para (C ◦ f)(x):
(C ◦ f)(x) =

1, 875x− 3 se 8 ≤ x < 9, 6 ,
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 6, 24 se 9, 6 ≤ x ≤ 14, 93 ,
0, 75x− 1, 2 se 14, 93 < x ≤ 18 .
Podemos verificar ainda que a função (C ◦ f)(x) é contínua, visto que
lim
x→9,6−
(C ◦ f)(x) = lim
x→9,6+
(C ◦ f)(x)
lim
x→9,6−
1, 875x− 3 = lim
x→9,6+
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 6, 24 .
E também
lim
x→14,93+
(C ◦ f)(x) = lim
x→14,93−
(C ◦ f)(x)
lim
x→14,93+
0, 75x− 1, 2 = lim
x→14,93−
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 6, 24 .
Assim, como o objetivo é minimizar a função custo, vamos utilizar o método do inter-
valo fechado.
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Cálculo I Lista de Exercícios 11
Calculando a derivada de (C ◦ f)′(x):
(C ◦ f)′(x) =

1, 875 se 8 ≤ x < 9, 6 ,
−0, 4218x+ 4, 2375 se 9, 6 ≤ x ≤ 14, 93 ,
0, 75x se 14, 93 < x ≤ 18 .
Para calcular os pontos críticos, primeiro basta encontrar quando a derivada é igual a
zero:
−0, 4218x+ 4, 2375 = 0 → x = 10, 0438 .
Agora ainda falta encontrar os pontos críticos onde a derivada não existe e os can-
didatos são x = 9, 6 e x = 14, 93, pois nesses pontos a função muda de definição e
pode haver a existência de "bicos". Então calculando a derivada em x = 9, 6, tem-se
lim
h→9,6+
(C ◦ f)(x)− (C ◦ f)(9, 6)
x− 9, 6
̸= lim
h→9,6−
(C ◦ f)(x)− (C ◦ f)(9, 6)
x− 9, 6
lim
h→9,6+
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 6, 24− 15
x− 9, 6
̸= lim
x→9,6−
1, 875x− 3− 15
x− 9, 6
lim
h→9,6+
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 21, 24
x− 9, 6
̸= lim
x→9,6−
1, 875x− 18
x− 9, 6
lim
h→9,6+
(x− 10, 51)����
�
(x− 9, 6)
��
���x− 9, 6
̸= lim
x→9,6−
1, 875 · �
��
��x− 9, 6
��
���x− 9, 6
−0, 91 ̸= 1, 875 .
Para x = 14, 93, tem-se
lim
h→14,93+
(C ◦ f)(x)− (C ◦ f)(14, 93)
x− 14, 93
̸= lim
h→14,93−
(C ◦ f)(x)− (C ◦ f)(14, 93)
x− 14, 93
lim
h→14,93+
0, 75x− 1, 2− 10
x− 14, 93
̸= lim
x→14,93−
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 6, 24− 10
x− 14, 93
lim
h→14,93+
4
3
4
3
· 0, 75x− 11, 2
x− 14, 93
̸= lim
x→14,93−
−0, 2109x2 + 4, 2375x− 16, 24
x− 14, 93
lim
h→14,93+
3
4
· ��
��
���(x− 14, 93)
���
���x− 14, 93
̸= lim
x→14,93−
���
���
�
(x− 14, 93)(x− 5, 155)
���
���x− 14, 93
3
4
̸= 9, 775 .
Observação: Bastava verificar que as funções derivadas, isto é, (C ◦ f)′(x) não
são contínuas nesses dois pontos.
Desse modo, x = 9, 6 e x = 14.93 também são pontos críticos. Calculando a
imagem dos candidatos a serem máximos ou mínimos absolutos, que são todos os
pontos críticos e os extremos do intervalo fechado [8, 18]:
(C ◦ f)(8) = 12
(C ◦ f)(9, 6) = 15
(C ◦ f)(10, 0438) = 15, 04
(C ◦ f)(14, 93) = 10
(C ◦ f)(18) = 12, 30 .
Portanto o menor custo para imprimir o documento será quando a fonte for 14,93.
8
Cálculo I Lista de Exercícios 11
Questão extra 2: Usando o roteiro estudado para esboçar o gráfico de uma
função, esboce o gráfico de f(x) = |x2 − 6|x|+ 5|.
Solução: Note que o domínio de f(x) é todos os números reais.
Podemos verificar que a função f(x) é par, visto que
f(−x) = |(−x)2−6·|−x|+5| = |(−1)2 ·x2−6·|−1|·|x|+5| = |x2−6|x|+5| = f(x) .
Como essa função é par, então podemos trabalhar com o intervalo (0,+∞). Além
disso, {
f(x) = x2 − 6|x|+ 5 se (x2 − 6|x|+ 5) > 0 ,
f(x) = −x2 + 6|x| − 5 se (x2 − 6|x|+ 5) < 0 .
Como vamos trabalhar com o intervalo de (0,+∞) devido f ser par, pode-se reescrever
f(x) da seguinte forma:{
f(x) = x2 − 6x+ 5 se (x2 − 6x+ 5) > 0 ,
f(x) = −x2 + 6x− 5 se (x2 − 6x+ 5) < 0 .
Encontrando os valores de x para os quais
x2 − 6x+ 5 = 0{
x1 = 1 ,
x2 = 5 .
Com isso, x2 − 6x + 5 é negativa entre as raízes, que é o intervalo (1, 5). Enquanto
que x2 − 6x + 5 é positiva no intervalo (0, 1) e (5,+∞). Dessa maneira, podemos
rescrever f(x) em termos desses intervalos:{
f(x) = x2 − 6x+ 5 se 0 < x < 1 ou x > 5 ,
f(x) = −x2 + 6x− 5 se 1 < x < 5 .
Calculando a derivada de f(x),{
f ′(x) = 2x− 6 se 0 < x < 1 ou x > 5 ,
f ′(x) = −2x+ 6 se 1 < x < 5 .
Calculando os valores de x onde a derivada é zero
2x− 6 = 0 → x = 3 ,
−2x+ 6 = 0 → x = 3 .
Em x = 3 a derivada é zero, isso só vale para derivada do intervalo de (1, 5). É possível
constatar que para f ′(x) < 0, f(x) decresce nos seguintes intervalos:
(0, 1) ∪ (3, 5) .
E para f ′(x) > 0, f(x) cresce nos seguintes intervalos:
(1, 3) ∪ (5,+∞) .
No entanto, ainda precisamos verificar outros pontos críticos que são aqueles em que
a derivada não existe. Os candidatos, são os pontos onde a função f(x) muda de
9
Cálculo I Lista de Exercícios 11
definição por conta do módulo, ou seja, quando x = 1 e x = 5 a derivada pode não
existir caso aconteça a formação de "bicos" devido a reflexão no eixo x causada pela
aplicação do módulo. Então, basta verificar se a derivada de f(x) realmente existe
nesses pontos. Primeiro para x = 1, temos que
lim
h→0
f(1 + h)− f(1)
h
= lim
h→0
|(1 + h)2 − 6|1 + h|+ 5| − |12 − 6|1|+ 5|
h
= lim
h→0
|12 + 2h+ h2 − 6|1 + h|+ 5| − 0
h
= lim
h→0
|12 + 2h+ h2 − 6− 6h+ 5|
h
= lim
h→0
|h2 − 4h|
h
= lim
h→0
|h||h− 4|
h
= lim
h→0
���
�:4|h− 4| · lim
h→0 �
�
���
��∃
|h|
h
= ��∃ .
Agora, para x = 5, temos que
lim
h→0
f(5 + h)− f(5)
h
= lim
h→0
|(5 + h)2 − 6|5 + h|+ 5| − |52 − 6|5|+ 5|
h
= lim
h→0
|52 + 10h+ h2 − 6|5 + h|+ 5| − 0
h
= lim
h→0
|52 + 10h+ h2 − 30− 6h+ 5|
h
= lim
h→0
|h2 + 4h|
h
= lim
h→0
|h||h+ 4|
h
= lim
h→0
���
�:4|h+ 4| · lim
h→0 �
�
���
��∃
|h|
h
= ��∃ .
Observação: Bastava verificar que as funções derivadas, isto é, f ′(x) não são con-
tínuas nesses dois pontos.
Agora calculando o limite no infinito, temos que
lim
x→+∞
|x2 − 6|x|+ 5| = lim
x→+∞
|x2 − 6x+ 5| = lim
x→+∞
∣∣∣∣1−
�
�
���
0
6
x
+
�
�
���
0
5
x2
∣∣∣∣ · |���+∞x2| = +∞ .
Calculando a segunda derivada de f(x),{
f ′′(x) = 2 se 0 < x < 1 ou x > 5 ,
f ′′(x) = −2 se 1 < x < 5 .
É possível constatar pelo sinal da segunda derivada que a função f(x) tem concavidade
para cima, porque f ′′(x) > 0, nos seguintes intervalos:
(0, 1) ∪ (5,+∞) .
10
Cálculo I Lista de Exercícios 11
E f(x) tem concavidade para baixo, porque f ′′(x) < 0, no seguinte intervalo:
(1, 5) .
Ainda falta calcular as imagens de todos os pontos críticos de f(x) e onde a função
intercepta o eixo y:
f(1) = 0
f(3) = 4
f(5) = 0
f(0) = 5 .
Enfim, a partir de todas as informações desenvolvidas podemos desenhar o gráfico de
f(x) no intervalo de (0,+∞) e depois é só espelhar esse gráfico pelo eixo y devido a
paridade de f(x):
Figure 4: Gráfico de f(x).
11