Para resolver a equação diferencial ordinária (EDO) dada, \( y' - 2y = 0 \), podemos reescrevê-la como \( y' = 2y \). Essa é uma EDO de separação de variáveis. 1. Separar as variáveis: \[ \frac{dy}{y} = 2 dt \] 2. Integrar ambos os lados: \[ \ln |y| = 2t + C \] 3. Resolver para \( y \): \[ y = e^{2t + C} = e^C e^{2t} \] Vamos chamar \( e^C \) de \( K \), então: \[ y(t) = K e^{2t} \] 4. Usar a condição inicial \( y(0) = -2 \): \[ y(0) = K e^{0} = K = -2 \] Portanto, a solução da EDO é: \[ y(t) = -2 e^{2t} \] 5. Calcular \( y(t) \) para \( t = 0, 1, 2 \): - \( y(0) = -2 \) - \( y(1) = -2 e^{2} \) - \( y(2) = -2 e^{4} \) 6. Substituir na equação dada: \[ y(2) - 6y(1) + 8y(0) = 8u \] Substituindo os valores: \[ -2 e^{4} - 6(-2 e^{2}) + 8(-2) = 8u \] Simplificando: \[ -2 e^{4} + 12 e^{2} - 16 = 8u \] 7. Isolar \( u \): \[ u = \frac{-2 e^{4} + 12 e^{2} - 16}{8} \] Portanto, a resposta para \( u \) é: \[ u = \frac{-2 e^{4} + 12 e^{2} - 16}{8} \]