Seja X ⊂ R um conjunto compacto cujos pontos, com excessão de a := inf X e b := sup X, são pontos de acumulação à direita e à esquerda. Prove que ...

Para provar que X = [a,b] ou X = {a,b}, precisamos mostrar que todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b. Primeiro, vamos mostrar que todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b. Como a é o ínfimo de X, temos que a ≤ x para todo x ∈ X. Da mesma forma, como b é o supremo de X, temos que x ≤ b para todo x ∈ X. Portanto, todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b. Agora, precisamos mostrar que X não pode ter nenhum elemento fora de [a,b]. Suponha, por absurdo, que exista um elemento c ∈ X tal que c < a ou c > b. Sem perda de generalidade, suponha que c < a. Como c é um ponto de acumulação à esquerda, existe uma sequência (xn) em X tal que xn → c quando n → ∞. Mas como c < a, temos que xn < a para todo n, o que significa que (xn) não pode ter uma subsequência convergente em [a,b]. Isso contradiz o fato de que X é compacto. Portanto, X não pode ter nenhum elemento fora de [a,b]. Concluímos que todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b, e que X não pode ter nenhum elemento fora de [a,b]. Portanto, X = [a,b] ou X = {a,b}.