Seja X ⊂ R um conjunto compacto cujos pontos, com excess˜ao de a := inf X e b := sup X, s˜ ao pontos de acumulação ` a direita e ` a esquerda. Pro...

Seja X um conjunto compacto em R, exceto a := inf X e b := sup X, que são pontos de acumulação à direita e à esquerda, respectivamente. Para provar que X = [a,b] ou X = {a,b}, precisamos mostrar que todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b. Suponha que exista um elemento x em X que não está em [a,b]. Sem perda de generalidade, podemos assumir que x < a. Como a é um ponto de acumulação à esquerda, existe uma sequência (xn) em X tal que xn → a. Como X é compacto, existe uma subsequência (xnk) convergente em X. Seja lim(xnk) = c. Como X não contém nenhum ponto no intervalo (a,b), temos que c ≤ a. Mas isso contradiz o fato de que a é um ponto de acumulação à esquerda de X. Portanto, todo elemento de X está em [a,b] ou é igual a a ou b. Agora, precisamos mostrar que X não pode ter nenhum elemento fora de [a,b]. Suponha que exista um elemento x em X tal que x > b. Novamente, sem perda de generalidade, podemos assumir que x > b. Como b é um ponto de acumulação à direita, existe uma sequência (xn) em X tal que xn → b. Como X é compacto, existe uma subsequência (xnk) convergente em X. Seja lim(xnk) = c. Como X não contém nenhum ponto no intervalo (a,b), temos que c ≥ b. Mas isso contradiz o fato de que b é um ponto de acumulação à direita de X. Portanto, X não pode ter nenhum elemento fora de [a,b]. Concluímos que X = [a,b] ou X = {a,b}.