09) Em certa região do espaço, o potencial elétrico é V=5x−3x2+2yz2. Determine as expressões para as componentes x,y e z do campo elétrico nessa região. b) Qual é o módulo do campo elétrico em um ponto qualquer P, que tem as coordenadas (1,0,-2) (em metros)?

Question

09) Em certa região do espaço, o potencial elétrico é V=5x−3x2+2yz2. Determine as expressões para as componentes x,y e z do campo elétrico nessa re...

Ed · Answer

Para determinar as componentes do campo elétrico a partir do potencial elétrico $ V $, utilizamos a relação:

$$
\vec{E} = -\nabla V
$$

onde $ \nabla V $ é o gradiente do potencial elétrico. As componentes do campo elétrico $ E_x, E_y, E_z $ são dadas por:

$$
E_x = -\frac{\partial V}{\partial x}, \quad E_y = -\frac{\partial V}{\partial y}, \quad E_z = -\frac{\partial V}{\partial z}
$$

Dado o potencial $ V = 5x - 3x^2 + 2yz^2 $, vamos calcular as derivadas parciais:

1. **Para $ E_x $**:
   $$
   E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -\left(5 - 6x\right) = -5 + 6x
   $$

2. **Para $ E_y $**:
   $$
   E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -\left(2z^2\right) = -2z^2
   $$

3. **Para $ E_z $**:
   $$
   E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -\left(4yz\right) = -4yz
   $$

Assim, as expressões para as componentes do campo elétrico são:
$$
E_x = 6x - 5, \quad E_y = -2z^2, \quad E_z = -4yz
$$

Agora, para calcular o módulo do campo elétrico no ponto $ P(1, 0, -2) $:

Substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $, e $ z = -2 $:

1. **Calculando $ E_x $**:
   $$
   E_x = 6(1) - 5 = 1
   $$

2. **Calculando $ E_y $**:
   $$
   E_y = -2(-2)^2 = -2(4) = -8
   $$

3. **Calculando $ E_z $**:
   $$
   E_z = -4(0)(-2) = 0
   $$

Agora, o módulo do campo elétrico $ |\vec{E}| $ é dado por:

$$
|\vec{E}| = \sqrt{E_x^2 + E_y^2 + E_z^2} = \sqrt{1^2 + (-8)^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 64} = \sqrt{65}
$$

Portanto, o módulo do campo elétrico no ponto $ P(1, 0, -2) $ é $ \sqrt{65} $ N/C.

Ed · Answer

Para encontrar as componentes do campo elétrico, é necessário calcular o gradiente do potencial elétrico.

Assim, temos:

E = -∇V

Onde ∇ é o operador nabla, que representa o gradiente, e E é o campo elétrico.

Calculando o gradiente do potencial elétrico, temos:

∇V = (5 - 6x) i + 2yz j + 4yz k

Portanto, o campo elétrico é:

E = -(5 - 6x) i - 2yz j - 4yz k

Substituindo as coordenadas do ponto P, temos:

E = -(5 - 6(1)) i - 2(0)(-2) j - 4(0)(-2) k

E = -1 i + 0 j + 0 k

O módulo do campo elétrico em P é dado por:

|E| = √(Ex² + Ey² + Ez²)

|E| = √((-1)² + 0² + 0²)

|E| = 1 V/m

Portanto, o módulo do campo elétrico em P é 1 V/m.

Física

Lita_02_Fisica

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Lita_02_Fisica

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