167. A desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser aplicada em várias situações. Use-a, por exemplo, para demonstrar o seguinte facto: Sendo α, β e µ n...

Podemos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para demonstrar o fato proposto. Primeiro, vamos reescrever a desigualdade em termos da notação da desigualdade de Cauchy-Schwarz: (αβ + βµ + µα)² ≤ (α² + β² + µ²)(β² + α² + µ²) Agora, podemos aplicar a desigualdade de Cauchy-Schwarz para o produto interno dos vetores (α, β, µ) e (β, α, µ): (αβ + βµ + µα)² ≤ (α² + β² + µ²)(β² + α² + µ²) (α² + β² + µ²)(β² + α² + µ²) - (αβ + βµ + µα)² ≥ 0 (α²β² + β²µ² + µ²α² + 2αβµα + 2βαµβ + 2µαβµ) - (α²β² + β²µ² + µ²α² + 2αβµα + 2βαµβ + 2µαβµ) ≥ 0 0 ≥ 0 A desigualdade é verdadeira e a igualdade ocorre quando os vetores (α, β, µ) e (β, α, µ) são linearmente dependentes, ou seja, quando existe um número real k tal que (α, β, µ) = k(β, α, µ). Isso ocorre quando α = β e β = µ, ou seja, quando os três números são iguais.