169. Sejam x, y ∈ Rn. Demonstre que: (a) Se ‖x− y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2, então x e y são ortogonais. (b) Se ‖x‖ = ‖y‖, então os vectores x+ y e x− y são ...

(a) Para demonstrar que x e y são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno entre eles é igual a zero. Sabemos que: ‖x− y‖² = (x− y)·(x− y) = ‖x‖² + ‖y‖² Expandindo o produto interno, temos: ‖x‖² + ‖y‖² - 2x·y = ‖x‖² + ‖y‖² Simplificando, temos: x·y = 0 Portanto, x e y são ortogonais. (b) Para demonstrar que x+ y e x− y são ortogonais, precisamos mostrar que o produto interno entre eles é igual a zero. Sabemos que: ‖x‖ = ‖y‖ Expandindo o produto interno de x+ y e x− y, temos: (x+ y)·(x− y) = x·x − x·y + y·x − y·y Substituindo ‖x‖ por ‖y‖, temos: (x+ y)·(x− y) = ‖x‖² − x·y + y·x − ‖y‖² Como x·y = y·x, temos: (x+ y)·(x− y) = ‖x‖² − ‖y‖² Mas ‖x‖² = ‖y‖², então: (x+ y)·(x− y) = 0 Portanto, x+ y e x− y são ortogonais. (c) Para demonstrar que ‖x+ y‖ = ‖x− y‖, precisamos mostrar que o quadrado da norma de x+ y é igual ao quadrado da norma de x− y. Sabemos que: ‖x+ y‖² = (x+ y)·(x+ y) = x·x + 2x·y + y·y ‖x− y‖² = (x− y)·(x− y) = x·x − 2x·y + y·y Somando as duas equações, temos: ‖x+ y‖² + ‖x− y‖² = 2(x·x + y·y) Mas x·x + y·y = ‖x‖² + ‖y‖², então: ‖x+ y‖² + ‖x− y‖² = 2(‖x‖² + ‖y‖²) Portanto, ‖x+ y‖ = ‖x− y‖ se x e y forem ortogonais. Interpretação geométrica: (b) Se ‖x‖ = ‖y‖, então x e y têm o mesmo comprimento. Os vetores x+ y e x− y são diagonais de um paralelogramo cujos lados são x e y. Se x e y têm o mesmo comprimento, então o paralelogramo é um retângulo e as diagonais são ortogonais. (c) Se x e y são ortogonais, então x+ y e x− y são os lados de um losango cujas diagonais são x e y. Como as diagonais de um losango se cortam ao meio, temos que ‖x+ y‖ = ‖x− y‖.