Divide-se um número natural n por 4 e, em seguida, divide-se o quociente obtido por 3. Se as divisões são exatas e a soma dos dois quocientes é 84,...

Se a soma dos dois quocientes é 84, podemos representar o primeiro quociente como x e o segundo quociente como y. Assim, temos: n/4 = x x/3 = y Multiplicando as duas equações, temos: n/4 * x/3 = y * x/3 n/12 = xy/3 n = 4xy Substituindo n na equação da soma dos quocientes, temos: x + y = 84 x + 4xy/3 = 84 3x + 4xy = 252 x(3 + 4y) = 252 Como x é um número natural, 3 + 4y deve ser um fator de 252. Os fatores de 252 são: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 12, 14, 18, 21, 28, 36, 42, 63, 84, 126 e 252 Subtraindo 3 de cada um desses fatores e dividindo por 4, obtemos os valores de y: 0, 0, 0, 0.25, 0.75, 1, 1.5, 2.25, 2.75, 3.75, 5.25, 6.25, 8.25, 10.25, 15, 20.25, 30.75 e 62.25 Como y também é um número natural, os valores possíveis são: 0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 10, 15, 20, 30 e 62 Substituindo cada um desses valores na equação de x, obtemos os valores de n: y = 0 -> x = 84/3 = 28 -> n = 4 * 0 * 28 = 0 y = 1 -> x = 84/7 = 12 -> n = 4 * 1 * 12 = 48 y = 2 -> x = 84/11 -> n = 4 * 2 * 7 = 56 y = 3 -> x = 84/15 -> n = 4 * 3 * 4 = 48 y = 5 -> x = 84/23 -> n = 4 * 5 * 3 = 60 y = 6 -> x = 84/27 -> n = 4 * 6 * 3 = 72 y = 8 -> x = 84/35 -> n = 4 * 8 * 2 = 64 y = 10 -> x = 84/43 -> n = 4 * 10 * 2 = 80 y = 15 -> x = 84/68 -> n = 4 * 15 * 1 = 60 y = 20 -> x = 84/83 -> n = 4 * 20 * 1 = 80 y = 30 -> x = 84/123 -> n = 4 * 30 * 1 = 120 y = 62 -> x = 84/251 -> n = 4 * 62 * 1 = 248 Portanto, a alternativa correta é a letra E) 260 ≤ n ≤ 330.