Sejam X1,...,Xn uma amostra aleat´oria de tamanho n da distribui¸ c˜ao da vari´ avel aleat´ oria X, em que X ∼ N(µ,1). Considere os estimadores ˆ ...

Primeiramente, vamos encontrar o EQM de ˆ µ1 = ¯ X: O EQM é dado por: EQM(ˆµ1) = E[(ˆµ1 - µ)²] Substituindo ˆµ1 por ¯X, temos: EQM(¯X) = E[(¯X - µ)²] Sabemos que a média amostral ¯X é um estimador não viesado para a média populacional µ, portanto: E[¯X] = µ Assim, podemos escrever: EQM(¯X) = E[(¯X - E[¯X])²] EQM(¯X) = Var(¯X) Sabemos que a variância amostral é dada por: Var(¯X) = σ²/n Onde σ² é a variância populacional e n é o tamanho da amostra. Como X ∼ N(µ,1), temos que σ² = 1. Substituindo na fórmula da variância amostral, temos: Var(¯X) = 1/n Portanto, o EQM de ˆ µ1 = ¯ X é dado por: EQM(¯X) = Var(¯X) = 1/n Agora, vamos encontrar o EQM de ˆ µ2 = 10: O EQM é dado por: EQM(ˆµ2) = E[(ˆµ2 - µ)²] Substituindo ˆµ2 por 10, temos: EQM(10) = E[(10 - µ)²] Expandindo o quadrado, temos: EQM(10) = E[100 - 20µ + µ²] Como µ é uma constante, temos: EQM(10) = 100 - 20µ + E[µ²] Sabemos que X ∼ N(µ,1), portanto: E[X²] = Var(X) + E[X]² E[X²] = 1 + µ² Substituindo na fórmula do EQM, temos: EQM(10) = 100 - 20µ + (1 + µ²) EQM(10) = µ² - 20µ + 101 Agora, vamos fazer um gráfico do EQM para n = 10: Para fazer o gráfico, precisamos de uma faixa de valores para µ. Como a distribuição de X é normal, podemos usar a regra empírica para determinar que a maioria dos valores de X (e, portanto, de µ) estará dentro de três desvios padrão da média. Assim, podemos escolher um intervalo de, por exemplo, µ ∈ [7, 13]. Com isso, podemos calcular o EQM para vários valores de µ dentro desse intervalo e plotar o gráfico. O resultado é uma parábola com concavidade para cima, cujo mínimo ocorre em µ = 10 (o valor de ˆ µ2). O EQM de ˆ µ1 = ¯ X é constante e igual a 0,1.