O cálculo de várias variáveis é semelhante ao cálculo de uma variável aplicado a várias variáveis, uma de cada vez. Quando fixamos todas as variáveis independentes de uma função – menos uma – e derivamos em relação a essa variável, obtemos uma derivada “parcial”. A ideia de diferenciabilidade para funções de várias variáveis necessita de mais do que a existência de derivadas parciais, mas veremos que as funções deriváveis de várias variáveis se comportam da mesma forma que as funções de uma variável derivável.

Se

for um ponto no domínio de uma função

, o plano vertical

cortará a superfície

na curva

. Essa curva é o gráfico da função

no plano

. A coordenada horizontal nesse

plano é ; a coordenada vertical é . O valor de  se mantém constante em , portanto  não é uma variável.

Definimos a derivada parcial de  em relação a  no ponto  como a derivada ordinária de  em relação a  no ponto . Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o símbolo  no lugar da letra  empregada anteriormente. Na definição,  representa um número real, positivo ou negativo.

A derivada parcial de  em relação a  no ponto , desde que o limite exista, é 

e a derivada parcial de  em relação a  no ponto  é  .

THOMAS, George B. et al. Cálculo. 12 ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012.

As derivadas parciais descritas, e , fornecem duas maneiras diferentes de derivar  em um determinado ponto. Se quisermos derivar em relação a , basta tratar  como uma constante e derivar normalmente em relação a . Da mesma forma, se quisermos derivar em relação a , basta tratar  como uma constante e derivar normalmente em relação a .

Considerando o plano  e o paraboloide , ilustrados no gráfico a seguir, observa-se que a interseção entre essas duas superfícies é uma parábola.

Assim sendo, pode-se afirmar que o coeficiente angular tangente à parábola no ponto  é

A) 4.

B) 5.

C) 1.

D) 3.

E) 2.