Uma empresa pretende produzir dois produtos conhecidos como P1 e P2. Cada produto consome 240 gramas de matéria prima. A empresa tem semanalmente 1...

Para maximizar o lucro, é necessário produzir a quantidade de cada produto que gere o maior lucro possível. Vamos chamar a quantidade de P1 de x e a quantidade de P2 de y. Sabemos que cada produto consome 240 gramas de matéria-prima, portanto, a quantidade de matéria-prima utilizada semanalmente será: 240x + 240y = 12000 (em gramas) Simplificando a equação: x + y = 50 Agora, podemos escrever a equação do lucro total semanal: L(x,y) = 2300x + 3200y Para maximizar o lucro, precisamos encontrar os valores de x e y que maximizam L(x,y). Podemos utilizar o método da substituição para resolver o sistema de equações: y = 50 - x L(x) = 2300x + 3200(50 - x) L(x) = 2300x + 160000 - 3200x L(x) = -900x + 160000 Agora, precisamos encontrar o valor de x que maximiza L(x). Para isso, podemos derivar L(x) em relação a x e igualar a zero: L'(x) = -900 -900 = 0 Não há solução para essa equação, o que significa que L(x) é uma função decrescente. Portanto, o lucro será maximizado quando x for igual a zero, o que significa que toda a matéria-prima será utilizada para produzir o produto P2. Assim, a produção que maximiza o lucro é de 0 unidades de P1 e 50 unidades de P2.