um fazendeiro deseja fazer um galinheiro retangular encostado em um muro com um orçamento de 800,00. o material da cerca do lado paralelo do muro c...

Vamos lá! Para resolver esse problema, precisamos encontrar as dimensões do galinheiro que o fazendeiro pode construir com o orçamento disponível. Seja x a medida do lado paralelo ao muro e y a medida dos outros dois lados. Como o galinheiro é retangular, temos que a área é dada por A = xy. O fazendeiro tem um orçamento de R$ 800,00 para construir o galinheiro. Sabendo que o material da cerca do lado paralelo ao muro custa R$ 5,00 por metro e o material dos outros dois lados custa R$ 10,00 por metro, podemos escrever a equação: 800 = 5x + 10(2y + x) 800 = 5x + 20y + 10x 800 = 15x + 20y 48 = 3x + 4y Agora, precisamos encontrar os valores inteiros de x e y que satisfazem a equação acima e maximizam a área A = xy. Podemos fazer isso por tentativa e erro ou por meio de um método matemático chamado análise de otimização. Vamos usar este último. Para maximizar a área A = xy, precisamos encontrar o ponto crítico da função A(x,y) sujeita à restrição 3x + 4y = 48. Usando o método dos multiplicadores de Lagrange, podemos escrever: ∇A(x,y) = λ∇g(x,y), onde g(x,y) = 3x + 4y - 48 e ∇ é o operador gradiente. Assim, temos o sistema de equações: y = λ.4 x = λ.3 3x + 4y = 48 Substituindo as duas primeiras equações na terceira, obtemos: 3(λ.3) + 4(λ.4) = 48 25λ = 4 λ = 4/25 Substituindo λ na primeira e segunda equações, obtemos: y = 16/25 x = 12/25 Portanto, as dimensões do galinheiro que maximizam a área são x = 12/25 metros e y = 16/25 metros. A área correspondente é A = xy = (12/25).(16/25) = 192/625 metros quadrados. Note que as dimensões encontradas não são necessariamente números inteiros, mas sim frações. Se o fazendeiro quiser dimensões inteiras, ele pode arredondar para cima ou para baixo, dependendo da sua preferência e das necessidades das suas galinhas.