Quanto vale a integral de superfície da função ????(x,y)=xy onde S é a superfície parametrizada por φ(u,v)=(u,v,2u+v−1) com (u,v)∈D e D:0≤u≤1 e 0≤v≤u...

Para calcular a integral de superfície da função ???? sobre a superfície S, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o vetor normal à superfície S, que é dado por N = ∇φ(u,v), onde ∇ é o operador gradiente. Temos: ∇φ(u,v) = (1, 1, 2) 2. Calcular o módulo do vetor normal, que é dado por ||N|| = √(1² + 1² + 2²) = √6 3. Calcular a integral de superfície, que é dada por: ∫∫S ???? dS = ∫∫D ????(φ(u,v)) ||N|| dudv Substituindo ????(x,y) = xy e φ(u,v) = (u,v,2u+v−1), temos: ∫∫S ???? dS = ∫∫D (u*v) √6 dudv, onde D: 0 ≤ u ≤ 1 e 0 ≤ v ≤ u Integrando em relação a v primeiro e depois em relação a u, temos: ∫∫S ???? dS = ∫0¹ ∫0^u (u*v) √6 dv du = ∫0¹ (u²/2) √6 du = √6/6 Portanto, o valor da integral de superfície da função ???? sobre a superfície S é √6/6.