questão. Quanto vale a integral de superfície da função ????(x,y)=xy onde S é a superfície parametrizada por φ(u,v)=(u,v,2u+v−1) com (u,v)∈D e D:0≤u≤...

Para calcular a integral de superfície da função ???? sobre a superfície S, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular o vetor normal à superfície S, que é dado por N = (∂φ/∂u) x (∂φ/∂v), onde x representa o produto vetorial. Nesse caso, temos: (∂φ/∂u) = (1, 0, 2) (∂φ/∂v) = (0, 1, 1) N = (∂φ/∂u) x (∂φ/∂v) = (2, -1, 1) 2. Calcular a área da superfície S, que é dada por ||∂φ/∂u x ∂φ/∂v|| dudv, onde ||.|| representa o módulo do vetor e dudv é o elemento de área. Nesse caso, temos: ||∂φ/∂u x ∂φ/∂v|| = ||(2, -1, 1)|| = √6 dudv = dudv Assim, a área da superfície S é √6. 3. Calcular a integral de superfície da função ???? sobre a superfície S, que é dada por ∬S ???? dS = ∬D ????(φ(u,v)) ||∂φ/∂u x ∂φ/∂v|| dudv. Nesse caso, temos: ????(x,y) = xy ????(φ(u,v)) = u*v ||∂φ/∂u x ∂φ/∂v|| = √6 Assim, a integral de superfície da função ???? sobre a superfície S é: ∬S ???? dS = ∬D u*v √6 dudv Integrando em relação a v de 0 a u e em relação a u de 0 a 1, temos: ∬S ???? dS = ∫0^1 ∫0^u u*v √6 dvdudv = √6/12. Portanto, a alternativa correta é letra A) √6/12.