Vimos na unidade que os conceitos de limites de uma variável são válidos para funções de várias variáveis. Um deles é a continuidade de uma função ...

Para verificar se a função f(x,y) = xy / (x² + y²) é contínua em um ponto (a,b) do seu domínio, devemos verificar se esse ponto pertence ao domínio da função e se o limite da função quando (x,y) se aproxima de (a,b) é igual ao valor da função em (a,b). Assim, podemos calcular o limite da função quando (x,y) se aproxima de (a,b) utilizando coordenadas polares, substituindo x por rcosθ e y por rsinθ. Temos: lim (x,y) → (a,b) f(x,y) = lim (r,θ) → (0,0) f(rcosθ, rsinθ) = lim (r,θ) → (0,0) rcosθ * rsinθ / (r²cos²θ + r²sin²θ) = lim (r,θ) → (0,0) r²cosθsinθ / r² = lim (r,θ) → (0,0) cosθsinθ Se cosθsinθ for igual a zero para todo θ, então o limite será zero e a função será contínua em (a,b). Caso contrário, o limite não existirá e a função não será contínua em (a,b). Assim, concluímos que a função f(x,y) = xy / (x² + y²) é contínua em todos os pontos do seu domínio, exceto no ponto (0,0).