Cálculo 3 ava Considere a superfície S com representação paramétrica dada por: bold r left parenthesis u comma v right parenthesis equals left pare...

A integral de superfície pode ser calculada utilizando a fórmula: integral integral subscript S open parentheses f left parenthesis x comma y comma z right parenthesis close parentheses d S equals integral integral subscript D open parentheses f left parenthesis bold r left parenthesis u comma v right parenthesis right parenthesis left parenthesis bold r sub u cross bold r sub v right parenthesis space bar space space d A Onde D é a região do plano uv correspondente à superfície S e dA é o elemento de área. Substituindo os valores de r(u,v) e f(x,y,z) na fórmula, temos: integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S equals integral integral subscript D open parentheses (u + v) + (u - v) + 1 right parenthesis space bar space space d A Resolvendo a integral dupla, temos: integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S equals integral integral subscript D open parentheses 2u + 1 right parenthesis space bar space space d A Agora, precisamos calcular o elemento de área dA. Como r(u,v) = (u+v)i + (u-v)j + k, temos: bold r sub u equals bold i + bold j bold r sub v equals bold i - bold j Calculando o produto vetorial, temos: bold r sub u cross bold r sub v equals left | begin{matrix} bold i & bold j & bold k \ 1 & 1 & 0 \ 1 & -1 & 0 \ end{matrix} right | equals -2 bold k Portanto, o elemento de área é dado por: d A equals left | bold r sub u cross bold r sub v right | space bar space space d u d v equals 2 space bar space space d u d v Substituindo na integral dupla, temos: integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S equals integral integral subscript D open parentheses 2u + 1 right parenthesis space bar space space 2 space bar space space d u d v Resolvendo a integral dupla, temos: integral integral subscript S open parentheses x plus y plus z close parentheses d S equals 3 Portanto, a alternativa correta é a letra D) 3.