Água escoa a uma taxa de 14 kg/s em uma tubulação horizontal e passa por um cotovelo redutor que é usado para defletir de 30° o escoamento. A área ...

(a) Para determinar a pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo, podemos utilizar a equação de Bernoulli, que relaciona a pressão, a velocidade e a altura de um fluido em um ponto qualquer de um tubo. Como o escoamento é permanente e o atrito é desprezível, podemos considerar que a energia mecânica do fluido se conserva ao longo do tubo. Assim, temos: P1/ρ + v1^2/2g + z1 = P2/ρ + v2^2/2g + z2 Onde: P1 = pressão na entrada do cotovelo P2 = pressão na saída do cotovelo (atmosférica) ρ = densidade da água v1 = velocidade na entrada do cotovelo v2 = velocidade na saída do cotovelo g = aceleração da gravidade z1 = altura da entrada do cotovelo em relação a um ponto de referência z2 = altura da saída do cotovelo em relação ao mesmo ponto de referência Como a diferença de elevação entre os centros da saída e da entrada é de 30 cm, temos z2 - z1 = -0,3 m. Além disso, como a água é descarregada para a atmosfera, podemos considerar que a pressão na saída do cotovelo é igual à pressão atmosférica, ou seja, P2 = Patm = 101325 Pa. Substituindo esses valores na equação de Bernoulli e simplificando, temos: P1/ρ + v1^2/2g = Patm/ρ Como a área de seção transversal do cotovelo é de 113 cm² na entrada e 7 cm² na saída, podemos utilizar a equação da continuidade para relacionar as velocidades na entrada e na saída do cotovelo: A1v1 = A2v2 Onde: A1 = área de seção transversal na entrada do cotovelo A2 = área de seção transversal na saída do cotovelo Substituindo os valores fornecidos, temos: 113 cm² x v1 = 7 cm² x v2 v2 = (113/7) x v1 Substituindo essa relação na equação de Bernoulli, temos: P1/ρ + v1^2/2g = Patm/ρ P1/ρ + (113/7)^2 x v2^2/2g = Patm/ρ Substituindo v2 em função de v1, temos: P1/ρ + (113/7)^2 x (v1^2/2g) x (113/7)^2/2g = Patm/ρ P1/ρ + 113/7 x v1^2/2g = Patm/ρ Substituindo os valores numéricos e resolvendo para P1, temos: P1 = Patm - 113/7 x ρ x v1^2/2 P1 = 101325 - 113/7 x 1000 x (14/113)^2/2 P1 = 100981 Pa Assim, a pressão manométrica no centro da entrada do cotovelo é de 100981 Pa. (b) Para determinar a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar, podemos utilizar a equação do momento linear, que relaciona a força resultante sobre um objeto à taxa de variação do momento linear desse objeto. Como o cotovelo está em equilíbrio estático, a força resultante sobre ele é nula. Assim, podemos considerar que a força de ancoragem é igual à força resultante sobre a água que passa pelo cotovelo. A força resultante sobre a água pode ser calculada a partir da equação de Euler, que relaciona a força resultante sobre um fluido à taxa de variação da quantidade de movimento desse fluido. Como o escoamento é permanente e o atrito é desprezível, podemos considerar que a quantidade de movimento do fluido se conserva ao longo do tubo. Assim, temos: F = ρQ(v2 - v1) Onde: F = força resultante sobre a água Q = vazão de água (14 kg/s) v1 = velocidade na entrada do cotovelo v2 = velocidade na saída do cotovelo ρ = densidade da água Substituindo os valores fornecidos, temos: F = 1000 x 14 x (7/113 - 0)^2 F = 862,7 N Assim, a força de ancoragem necessária para manter o cotovelo no lugar é de aproximadamente 862,7 N.