Encontre o volume da região cortada do cilíndro x²+y²=4 pelos planos z=0 e x+z=3. A ) 6π B ) -6π C ) 12π D ) -12π

Para encontrar o volume da região cortada do cilindro, podemos usar o método de integração. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração para x, y e z. A interseção dos planos z=0 e x+z=3 é uma reta que passa pelos pontos (3,0,0) e (0,0,3). Podemos reescrever a equação do plano como z=3-x e substituir na equação do cilindro: x² + y² = 4 - (3-x)² x² + y² = 4 - (9 - 6x + x²) y² - 6x = 5 Agora podemos encontrar os limites de integração para x e y: -√(5+6x) ≤ y ≤ √(5+6x) 0 ≤ x ≤ 3 Para z, os limites são 0 e 3-x. Agora podemos montar a integral tripla para encontrar o volume: V = ∫∫∫ dV V = ∫₀³ ∫₋√(5+6x)ᵣ√(5+6x) ∫₀³-x dz dy dx Resolvendo a integral, obtemos: V = 12π Portanto, a alternativa correta é a letra C) 12π.