uma da aplicação do conceito de derivada está na obtenção das retas tangentes e normais de um ponto. sabendo disso ,determine oa equação da da ret...

Para determinar a equação da reta normal a uma curva em um ponto, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontre a derivada da função no ponto desejado. 2. Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao ponto, que é igual ao valor da derivada no ponto. 3. Calcule o coeficiente angular da reta normal, que é o inverso negativo do coeficiente angular da reta tangente. 4. Utilize a equação da reta para encontrar a equação da reta normal, substituindo o ponto e o coeficiente angular da reta normal. Por exemplo, se a função for f(x) = x^2 no ponto x = 2, temos: 1. f'(x) = 2x, então f'(2) = 4. 2. O coeficiente angular da reta tangente é 4. 3. O coeficiente angular da reta normal é -1/4. 4. Utilizando a equação da reta y - y1 = m(x - x1), substituindo o ponto (2, 4) e o coeficiente angular -1/4, temos: y - 4 = (-1/4)(x - 2) Simplificando, temos: y = (-1/4)x + 9/2 Portanto, a equação da reta normal à curva y = x^2 no ponto (2, 4) é y = (-1/4)x + 9/2.

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Para determinar a equação da reta normal a uma curva em um ponto específico usando o conceito de derivada, siga os seguintes passos:

1. **Encontre a derivada da função**:

Primeiramente, você precisa encontrar a derivada da função \( y = f(x) \) que representa a curva em questão.

2. **Calcule a inclinação da reta tangente**:

A inclinação da reta tangente à curva no ponto \( (x_0, f(x_0)) \) é dada pelo valor da derivada \( f'(x_0) \) no ponto \( x_0 \).

3. **Calcule a inclinação da reta normal**:

A inclinação da reta normal à curva é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente. Matematicamente, isso é representado como:

\[ m_{normal} = -\frac{1}{f'(x_0)} \]

4. **Use a equação da reta**:

Com a inclinação da reta normal e o ponto \( (x_0, f(x_0)) \) em mãos, use a equação ponto-inclinação da reta para encontrar a equação da reta normal. A equação ponto-inclinação da reta é dada por:

\[ y - y_0 = m_{normal}(x - x_0) \]

Onde:

- \( (x_0, y_0) \) é o ponto em que você quer encontrar a reta normal.

- \( m_{normal} \) é a inclinação da reta normal.

Vamos considerar um exemplo para ilustrar:

**Exemplo**:

Dada a função \( y = x^2 \), queremos encontrar a equação da reta normal à curva no ponto \( (1, 1) \).

1. **Encontre a derivada da função**:

\[ y' = \frac{d}{dx} x^2 = 2x \]

2. **Calcule a inclinação da reta tangente**:

Para \( x = 1 \):

\[ f'(1) = 2(1) = 2 \]

3. **Calcule a inclinação da reta normal**:

\[ m_{normal} = -\frac{1}{2} \]

4. **Use a equação da reta**:

\[ y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 1) \]

\[ y - 1 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \]

\[ y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \]

Então, a equação da reta normal à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \) é \( y = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} \).