Umas das aplicações dos conceitos de derivada está na obtenção de retas tangentes e normais em um ponto. Sabendo disso, determine a equação da reta...

Para determinar a equação da reta normal à curva \(y=x\sqrt{9+x^2}\) na origem, primeiro precisamos encontrar a derivada da função \(y\) em relação a \(x\). Em seguida, calculamos o valor da derivada nesse ponto para determinar a inclinação da reta normal. A função \(y=x\sqrt{9+x^2}\) pode ser reescrita como \(y=x(9+x^2)^{1/2}\). A derivada da função \(y\) em relação a \(x\) é dada por: \[ \frac{dy}{dx} = (9+x^2)^{1/2} + x \cdot \frac{1}{2}(9+x^2)^{-1/2} \cdot 2x \] \[ \frac{dy}{dx} = (9+x^2)^{1/2} + \frac{x^2}{(9+x^2)^{1/2}} \] Agora, vamos calcular a derivada no ponto \(x=0\) para encontrar a inclinação da reta normal: \[ \frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=0} = (9+0^2)^{1/2} + \frac{0^2}{(9+0^2)^{1/2}} \] \[ \frac{dy}{dx} \Bigg|_{x=0} = 3 \] Portanto, a inclinação da reta normal é \(m = 3\). Como a reta passa pela origem \((0,0)\), a equação da reta normal é dada por: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] \[ y - 0 = 3(x - 0) \] \[ y = 3x \] Portanto, a equação da reta normal à curva \(y=x\sqrt{9+x^2}\) na origem é \(y = 3x\).