2) Três números reais distintos a, b, c são tais que a, b, c e ab, bc, ca formam, nessas ordens, duas progressões aritméticas de mesma razão. O val...

Temos que as sequências a, b, c e ab, bc, ca são progressões aritméticas de mesma razão. Assim, temos: b - a = c - b bc - ab = ca - bc Podemos reescrever a segunda equação como: bc + ab = ca + bc b(a + c) = c(a + b) Como a, b e c são distintos, podemos dividir a segunda equação por (a + b)(a + c)(b + c) para obter: bc/(a + b)(a + c) + ab/(b + c)(a + c) + ac/(a + b)(b + c) = 1 Note que o lado esquerdo da equação é a média geométrica de ab, bc e ca. Como as sequências ab, bc e ca são progressões aritméticas de mesma razão, temos que a média geométrica é igual à média aritmética, ou seja: abc = (ab)(bc)(ca)^(1/2) = (a + b + c)(ab + bc + ca)/3 Substituindo a primeira equação em (a + b + c), temos: a + b + c = 2b a + b + c = 2c Portanto, b = c, o que contradiz a hipótese de que a, b e c são distintos. Logo, não há solução para o problema proposto.