Construir diagramas de Venn para dois ou três conjuntos, surgem dificuldades quando se tenta usá-los para um número maior. Algumas construções possíveis são devidas ao próprio John Venn e a outros matemáticos como Anthony W. F. Edwards, Branko Grünbaum e Phillip Smith. Além disso, encontram-se em uso outros diagramas similares aos de Venn, entre os quais os de Euler, Johnston, Pierce e Karnaugh. Dois Conjuntos: considere-se o seguinte exemplo: suponha-se que o conjunto A representa os animais bípedes e o conjunto B representa os animais capazes de voar. A área onde os dois círculos se sobrepõem, designada por intersecção A e B ou intersecção A-B, conteria todas as criaturas que ao mesmo tempo podem voar e têm apenas duas pernas motoras. Considere-se agora que cada espécie viva está representada por um ponto situado em alguma parte do diagrama. Os humanos e os pinguins seriam marcados dentro do círculo A, na parte dele que não se sobrepõe com o círculo B, já que ambos são bípedes mas não podem voar. Os mosquitos, que voam mas têm seis pernas, seriam representados dentro do círculo B e fora da sobreposição. Os canários, por sua vez, seriam representados na intersecção A-B, já que são bípedes e podem voar. Qualquer animal que não fosse bípede nem pudesse voar, como baleias ou serpentes, seria marcado por pontos fora dos dois círculos. Assim, o diagrama de dois conjuntos representa quatro áreas distintas (a que fica fora de ambos os círculos, a parte de cada círculo que pertence a ambos os círculos (onde há sobreposição), e as duas áreas que não se sobrepõem, mas estão em um círculo ou no outro): - Animais que possuem duas pernas e não voam (A sem sobreposição). - Animais que voam e não possuem duas pernas (B sem sobreposição). - Animais que possuem duas pernas e voam (sobreposição). - Animais que não possuem duas pernas e não voam (branco - fora). Essas configurações são representadas, respectivamente, pelas operações de conjuntos: diferença de A para B, diferença de B para A, intersecção entre A e B, e conjunto complementar de A e B. Cada uma delas pode ser representada como as seguintes áreas (mais escuras) no diagrama: Diferença de A para B: A\B Diferença de B para A: B\A Intersecção de dois conjuntos: AB Complementar de dois conjuntos: U \ (AB) Além disso, essas quatro áreas podem ser combinadas de 16 formas diferentes. Por exemplo, pode-se perguntar sobre os animais que voam ou tem duas patas (pelo menos uma das características); tal conjunto seria representado pela união de A e B. Já os animais que voam e não possuem duas patas mais os que não voam e possuem duas patas, seriam representados pela diferença simétrica entre A e B. Estes exemplos são mostrados nas imagens a seguir, que incluem também outros dois casos. União de dois conjuntos: AB Diferença Simétrica de dois conjuntos: AB Complementar de A em U: AC = U \ A Complementar de B em U: BC = U \ B Três Conjuntos: Na sua apresentação inicial, Venn focou-se sobretudo nos diagramas de três conjuntos. Alargando o exemplo anterior, poderia-se introduzir o conjunto C dos animais que possuem bico. Neste caso, o diagrama define sete áreas distintas, que podem combinar-se de 256 (28) maneiras diferentes, algumas delas ilustradas nas imagens seguintes. Diagrama de Venn mostrando todas as intersecções possíveis entre A, B e C. União de três conjuntos: ABC Intersecção de três conjuntos: ABC A \ (B U C) (B U C) \ A PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS - Todo A é B - Nenhum A é B - Algum A é B e - Algum A não é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é ,não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B. Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A. Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é ,são ,está ,foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B. - Todo A é B = Todo A não é não B. - Algum A é B = Algum A não é não B. - Nenhum A é B = Nenhum A não é não B. - Todo A é não B = Todo A não é B. - Algum A é não B = Algum A não é B. - Nenhum A é não B = Nenhum A não é B. - Nenhum A é B = Todo A é não B. - Todo A é B = Nenhum A é não B. - A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa). - A negação de Algum A é B é Nenhum A não é B (e vice-versa). Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B, pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras. 1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis: Nenhum A é B. É falsa. Algum A é B. É verdadeira. Algum A não é B. É falsa. 2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação: Todo A é B. É falsa. Algum A é B. É falsa. Algum A não é B. É verdadeira. 3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis: Nenhum A é B. É falsa. Todo A é B. Pode ser verdadeira (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2). Algum A não é B. Pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4) – é indeterminada. 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis: Todo A é B. É falsa. Nenhum A é B. Pode ser verdadeira (em 3) ou falsa (em 1 e 2 – é indeterminada). Algum A é B. Ou falsa (em 3) ou pode ser verdadeira (em 1 e 2 – é ideterminada).