Uma parte importante da teoria dos números envolve congruências lineares, que são equações modulares úteis em várias aplicações, como criptografia ...

Para resolver o sistema de congruências lineares z=5(mod 6), z=0(mod 5) e x=4(mod 11), podemos utilizar o Teorema Chinês do Resto. Primeiro, vamos resolver as duas primeiras congruências: z = 5 (mod 6) -> z = 6k + 5 z = 0 (mod 5) -> z = 5j Substituindo a segunda equação na primeira, temos: 5j = 6k + 5 -> 5j - 5 = 6k -> 5(j-1) = 6k Como 5 e 6 são primos entre si, podemos afirmar que j-1 é múltiplo de 6. Assim, podemos escrever j-1 = 6m, onde m é um número inteiro. Substituindo na equação acima, temos: 5(6m) = 6k -> k = 5m Portanto, a solução para as duas primeiras congruências é: z = 6k + 5 = 6(5m) + 5 = 30m + 5 Agora, vamos resolver a terceira congruência: x = 4 (mod 11) Agora, podemos utilizar o Teorema Chinês do Resto para encontrar a solução do sistema de congruências. Para isso, precisamos encontrar um número que seja congruente a 30m + 5 (mod 30) e a 4 (mod 11). Começamos encontrando um número que seja congruente a 1 (mod 30) e a 0 (mod 11). Podemos fazer isso utilizando o algoritmo de Euclides estendido: 11 = 2*5 + 1 1 = 11 - 2*5 Assim, temos que 1 é congruente a -2 (mod 11). Substituindo na equação acima, temos: 30m + 5 = (30m + 6) - 1 = 6(5m+1) - 1 Portanto, a solução do sistema de congruências é: x = 6(5m+1) - 1 = 30m + 5 Assim, a alternativa correta é a letra A) 30m + 5.