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Uma parte importante da teoria dos números envolve congruências lineares, que são equações modulares úteis em várias aplicações, como criptografia ...

Uma parte importante da teoria dos números envolve congruências lineares, que são equações modulares úteis em várias aplicações, como criptografia e teoria dos números. Dado o sistema de congruências lineares z=5(mod 6), z=0( mod 5) e x = 4( mod 11), marque a alternativa que indica a sua solução.

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Para resolver o sistema de congruências lineares z=5(mod 6), z=0(mod 5) e x=4(mod 11), podemos utilizar o Teorema Chinês do Resto. Primeiro, vamos resolver as duas primeiras congruências: z = 5 (mod 6) -> z = 6k + 5 z = 0 (mod 5) -> z = 5j Substituindo a segunda equação na primeira, temos: 5j = 6k + 5 -> 5j - 5 = 6k -> 5(j-1) = 6k Como 5 e 6 são primos entre si, podemos afirmar que j-1 é múltiplo de 6. Assim, podemos escrever j-1 = 6m, onde m é um número inteiro. Substituindo na equação acima, temos: 5(6m) = 6k -> k = 5m Portanto, a solução para as duas primeiras congruências é: z = 6k + 5 = 6(5m) + 5 = 30m + 5 Agora, vamos resolver a terceira congruência: x = 4 (mod 11) Agora, podemos utilizar o Teorema Chinês do Resto para encontrar a solução do sistema de congruências. Para isso, precisamos encontrar um número que seja congruente a 30m + 5 (mod 30) e a 4 (mod 11). Começamos encontrando um número que seja congruente a 1 (mod 30) e a 0 (mod 11). Podemos fazer isso utilizando o algoritmo de Euclides estendido: 11 = 2*5 + 1 1 = 11 - 2*5 Assim, temos que 1 é congruente a -2 (mod 11). Substituindo na equação acima, temos: 30m + 5 = (30m + 6) - 1 = 6(5m+1) - 1 Portanto, a solução do sistema de congruências é: x = 6(5m+1) - 1 = 30m + 5 Assim, a alternativa correta é a letra A) 30m + 5.

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