Integrais duplas em regiões mais gerais Calcule a integral ∬x+2y dA, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x2.

Para calcular a integral dupla ∬x+2y dA sobre a região D limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x², podemos utilizar o método da integração iterada. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração para x e y. A região D é limitada pelas parábolas y = 2x² e y = 1 + x², então podemos encontrar os limites de integração para y em termos de x: y = 2x² y = 1 + x² Igualando as duas equações, temos: 2x² = 1 + x² x² = 1 x = ±1 Substituindo x = 1 e x = -1 nas equações das parábolas, temos: y = 2(1)² = 2 y = 1 + (1)² = 2 Portanto, os limites de integração para y são y = 2x² e y = 1 + x², e os limites de integração para x são x = -1 e x = 1. Agora, podemos escrever a integral dupla como: ∬x+2y dA = ∫(-1)¹ ∫(2x²)^(1+x²) (x+2y) dy dx Resolvendo a integral em relação a y, temos: ∫(2x²)^(1+x²) (x+2y) dy = xy + y² |_(2x²)^(1+x²) _(x+2y) Substituindo os limites de integração, temos: ∫(-1)¹ ∫(2x²)^(1+x²) (x+2y) dy dx = ∫(-1)¹ [(x+2(2x²)^(1+x²)) - (x+2x²)] dx Simplificando a expressão, temos: ∫(-1)¹ [(2x²)^(1+x²) + x²] dx Resolvendo a integral em relação a x, temos: ∫(-1)¹ [(2x²)^(1+x²) + x²] dx = [(2x²)^(1+x²)/(1+x²)) + (x³/3)] |_-1^1 Substituindo os limites de integração, temos: [(2(1)²)^(1+1²)/(1+1²)) + (1³/3)] - [(2(-1)²)^(1+(-1)²)/(1+(-1)²)) + ((-1)³/3)] Simplificando a expressão, temos: (2/2 + 1/3) - (2/2 - 1/3) = 4/3 Portanto, a integral dupla ∬x+2y dA sobre a região D é igual a 4/3.