Utilizando o Teorema de Green, o valor da integral de linha do campo F(x,y)=(y3,−x3) onde C é a região do círculo x2+y2=4 vale:

Utilizando o Teorema de Green, podemos calcular a integral de linha da seguinte forma: ∫C F(x,y)·dr = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA Onde P = y^3 e Q = -x^3 são as funções componentes do campo F(x,y), C é a curva que delimita a região D, e dr é o vetor tangente à curva C. Para encontrar o valor da integral de linha, precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de P e Q em relação a x e y: ∂P/∂y = 3y^2 ∂Q/∂x = -3x^2 Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos: ∫C F(x,y)·dr = ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∬D (-3x^2 - 3y^2) dA A região D é o círculo de raio 2, então podemos fazer a mudança para coordenadas polares: x = r cos θ y = r sen θ O elemento de área em coordenadas polares é dado por dA = r dr dθ. Substituindo na integral, temos: ∫C F(x,y)·dr = ∬D (-3x^2 - 3y^2) dA = ∫0^2 ∫0^2π (-3r^2 cos^2 θ - 3r^2 sen^2 θ) r dθ dr = ∫0^2 ∫0^2π (-3r^3) dθ dr = ∫0^2 (-6π r^4/4) dr = -3π(2^5 - 0)/2 = -48π Portanto, o valor da integral de linha do campo F(x,y) ao longo da curva C é -48π.