Verifique se as senten¸caas abaixo s˜ao verdadeiras (V) ou falsas (F). Justifique com propriedades ou contraexemplos . (a) Se x < y, ent˜ao −5x < −...

(a) Se x < y, então -5x < -5y é verdadeira. Podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade x < y por -5, lembrando que quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, a desigualdade é invertida. Assim, temos -5x > -5y, que é equivalente a -5x < -5y. (b) Se x^2 ≤ 16, então x ≤ 4 é verdadeira. Podemos tirar a raiz quadrada em ambos os lados da desigualdade, lembrando que a raiz quadrada de um número positivo é sempre positiva. Assim, temos |x| ≤ 4, o que implica em -4 ≤ x ≤ 4. (c) Se x^2 ≤ 16, então x ≤ -4 é falsa. Podemos usar como contraexemplo x = -3, que satisfaz a primeira desigualdade, mas não a segunda. (d) Se x^2 ≥ 16, então x ≤ -4 é falsa. Podemos usar como contraexemplo x = 3, que satisfaz a primeira desigualdade, mas não a segunda. (e) Se x ≠ 0, y ≠ 0 e x < y, então 1/x > 1/y é verdadeira. Podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade x < y por 1/xy, lembrando que quando multiplicamos ou dividimos por um número positivo, a desigualdade é mantida. Assim, temos 1/x > 1/y. (f) Se x < y, então x^2 < y^2 é falsa. Podemos usar como contraexemplo x = -2 e y = -1, que satisfazem a primeira desigualdade, mas não a segunda. (g) Se 0 < x < y, então x^2 < y^2 é verdadeira. Podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade 0 < x < y por x e y, lembrando que quando multiplicamos ou dividimos por um número positivo, a desigualdade é mantida. Assim, temos 0 < x^2 < xy < y^2. (h) Se x < 1, então x^3 < x é verdadeira. Podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade x < 1 por x^2, lembrando que quando multiplicamos ou dividimos por um número negativo, a desigualdade é invertida. Assim, temos x^3 < x^2 < x.