faça expansão em fraçoes parciais e use a transformada inversa de laplace para a equação abaixo v(s)=8s+24/s2+2s+1

Para fazer a expansão em frações parciais, primeiro precisamos fatorar o denominador da equação: s^2 + 2s + 1 = (s+1)^2 Agora, podemos escrever a equação original como: v(s) = (8s + 24) / (s+1)^2 Para encontrar as frações parciais, precisamos decompor a expressão acima em duas frações: v(s) = A/(s+1) + B/(s+1)^2 Multiplicando ambos os lados da equação por (s+1)^2, temos: v(s) = A(s+1) + B Substituindo s = -1, obtemos: A = 4 Para encontrar B, podemos substituir a expressão acima na equação original e igualar os coeficientes de s: 8s + 24 = A(s+1) + B(s+1)^2 8s + 24 = 4(s+1) + B(s^2 + 2s + 1) 8s + 24 = 4s + 4 + Bs^2 + 2Bs + B Igualando os coeficientes de s^2, s e o termo constante, temos: B = 4 2B = 8 4 + B = 24 Portanto, B = 4 e a equação original pode ser escrita como: v(s) = 4/(s+1) + 4/(s+1)^2 Para encontrar a transformada inversa de Laplace, podemos usar as seguintes propriedades: L^-1{1/(s-a)} = e^at L^-1{1/(s-a)^n} = t^(n-1)e^at/(n-1)! Aplicando a primeira propriedade, temos: L^-1{4/(s+1)} = 4e^(-t) Aplicando a segunda propriedade, temos: L^-1{4/(s+1)^2} = te^(-t) Portanto, a solução da equação diferencial é: v(t) = 4e^(-t) + te^(-t)