A solução de uma equação diferencial é uma função y ou y(x), se a equação for nessas variáveis. Resolvendo a equação diferencial exata x³dy/dx + 3x...

Para resolver a equação diferencial exata x³dy/dx + 3x²y = e^3x, podemos utilizar o método de integração por partes. Primeiro, encontramos a função de integração μ(x) multiplicando o coeficiente de y por x e derivando em relação a x, ou seja, μ(x) = x^3. Em seguida, encontramos a solução geral da equação multiplicando ambos os lados da equação por μ(x) e integrando em relação a x. Assim, temos: x³dy/dx + 3x²y = e^3x x³dy/dx + 3x²y/x³ = e^3x/x³ d/dx (x³y) = e^3x/x³ x³y = ∫e^3x/x³ dx x³y = (-1/2)e^3x/x² + C Para encontrar o valor de C, podemos utilizar o ponto y(1) = 8, ou seja, quando x = 1, y = 8. Assim, temos: 1³(8) = (-1/2)e^3(1)/1² + C C = 8 + (1/2)e^3 Portanto, a solução da equação diferencial é: x³y = (-1/2)e^3x/x² + 8 + (1/2)e^3 Para encontrar o valor aproximado de y(2), basta substituir x = 2 na equação acima: 2³y(2) = (-1/2)e^6/2² + 8 + (1/2)e^3 y(2) = [(-1/2)e^6/2² + 8 + (1/2)e^3]/8 Portanto, o valor aproximado de y(2) é [(-1/2)e^6/2² + 8 + (1/2)e^3]/8.