Encontre a derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto \( (1, -1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 1 \rangle...

A derivada direcional da função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto \( (1, -1) \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 1 \rangle \) é dada por: \[ D_{\mathbf{v}} f(1, -1) = \nabla f(1, -1) \cdot \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} \] Substituindo os valores, temos: \[ \nabla f(1, -1) = \langle 2x, 4y \rangle \rvert_{(1, -1)} = \langle 2, -4 \rangle \] \[ \frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} = \frac{\langle 1, 1 \rangle}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{\langle 1, 1 \rangle}{\sqrt{2}} = \langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle \] Então, \[ D_{\mathbf{v}} f(1, -1) = \langle 2, -4 \rangle \cdot \langle \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}} \rangle = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} - 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2 - 4}{\sqrt{2}} = \frac{-2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \] Portanto, a resposta fornecida está incorreta. A derivada direcional é \( D_{\mathbf{v}} f(1, -1) = -\sqrt{2} \).