Qual é o vetor binormal à curva definida pela função \(\vec{F}\ (u)\ =\ \langle t,\ t^2,\ \frac{2}{3}t^3\ \rangle\) no ponto \(\left ( 1,1,\frac{2}...

Para encontrar o vetor binormal à curva definida pela função \(\vec{F}(u) = \langle t, t^2, \frac{2}{3}t^3 \rangle\) no ponto \((1, 1, \frac{2}{3})\), precisamos seguir alguns passos. Primeiramente, calculamos a tangente e a normal nesse ponto. Em seguida, o produto vetorial entre esses dois vetores nos dará o vetor binormal. Calculando a tangente e a normal, obtemos: \[\vec{T} = \frac{\vec{F'}(u)}{\|\vec{F'}(u)\|}\] \[\vec{N} = \frac{\vec{T'}(u)}{\|\vec{T'}(u)\|}\] Substituindo os valores, obtemos: \[\vec{T} = \langle 1, 2t, 2t^2 \rangle\] \[\vec{N} = \langle 0, -2, 2t \rangle\] Agora, calculamos o vetor binormal: \[\vec{B} = \vec{T} \times \vec{N}\] \[\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2t & 2t^2 \\ 0 & -2 & 2t \end{vmatrix}\] Resolvendo o determinante, obtemos: \[\vec{B} = \langle 2t^2, -2t, -2 \rangle\] Portanto, o vetor binormal à curva no ponto dado é \(\langle 2t^2, -2t, -2 \rangle\). Substituindo \(t = 1\), obtemos o vetor binormal como \(\langle 2, -2, -2 \rangle\). Assim, a alternativa correta é \(\langle 2, -\frac{2}{3}, 1 \rangle\).