68. Determine o valor de \( \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{2 - \cos(x)} \, dx \). a) \( \pi \) b) \( 2\pi \) c) \( \frac{\pi}{2} \)

Vamos resolver a integral dada. \[ \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(x)}{2 - \cos(x)} \, dx \] Para resolver essa integral, podemos fazer a substituição \( u = 2 - \cos(x) \), e então \( du = \sin(x) \, dx \). A integral se torna: \[ \int \frac{1}{u} \, du \] A integral de \( \frac{1}{u} \) é \( \ln|u| \). Aplicando os limites de integração, temos: \[ \ln|2 - \cos(\pi)| - \ln|2 - \cos(0)| \] \[ \ln|2 + 1| - \ln|2 - 1| \] \[ \ln(3) - \ln(1) \] \[ \ln(3) \] Portanto, a resposta correta é \( \ln(3) \), que não está entre as opções fornecidas. Portanto, nenhuma das opções fornecidas é correta.