Qual é a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 \) no intervalo \( [0, 1] \)? a) A área é \( \frac{1}{6}(2\sqrt{3} -...

Vamos calcular a área da região limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 \) no intervalo \( [0, 1] \). A área pode ser encontrada pela integral definida da diferença entre as duas funções no intervalo dado. Assim, a área é dada por: \[ \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) \, dx \] Ao calcular essa integral, obtemos: \[ \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1} = \left( \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( 0 - 0 \right) = \frac{1}{3} \] Portanto, a área é \( \frac{1}{3} \), o que corresponde à opção b) "A área é \( \frac{1}{3}(\sqrt{3} - 1) \)".