os números da forma 1007, 10017, 100117, 1001117,10011117, .... são divisíveis por 53

Sim, os números da sequência são divisíveis por 53. Podemos provar isso usando o fato de que 100 é congruente a -1 (mod 53). Assim, podemos reescrever cada número da sequência como: 1007 = 100 * 10 - 3 -> -10*100 + 53*19 10017 = 100 * 100 - 83 -> -100*100 + 53*188 100117 = 100 * 1000 + 17 -> 1000*(-1) + 53*1887 1001117 = 100 * 10000 + 117 -> 10000*(-1) + 53*188679 10011117 = 100 * 100000 + 1117 -> 100000*(-1) + 53*18867924 Como cada número pode ser escrito como um múltiplo de 53 mais um número inteiro, e 53 é um número primo, então cada número da sequência é divisível por 53.