O cálculo de integrais simples pela Soma de Riemann não é uma tarefa simples. Por isso, recorre-se ao Teorema Fundamental do Cálculo para determiná...

O cálculo de integrais simples pela Soma de Riemann não é uma tarefa simples. Por isso, recorre-se ao Teorema Fundamental do Cálculo para determiná-las de maneira mais fácil. No caso da soma dupla de Riemann, a tarefa é ainda mais complexa, e o Teorema Fundamental do Cálculo vai novamente auxiliar no cálculo. Para que seja possível utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo, deve-se expressar a integral dupla como uma integral iterada. O procedimento, que tem alguma semelhança com a derivada parcial, consiste em realizar uma integração parcial da função. Em outras palavras, supondo que uma função f(x,y)sejacontínuanoretânguloR=[a,b]x[c,d],então:

4(3) - Se s(3,3) dy

A notação Se f (=,y) d y significa que x foi mantido fixo, ao passo que foi realizada somente uma integração parcial, na variável , no intervalo [c,d]. O resultado dessa integração é uma função que só depende de x, que pode ser novamente integrada:

S. A(=) d = - Si (Se f (3,9) d y) a =

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1= 1/8

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Para resolver a integral dupla, primeiramente, é necessário resolver a integral em y dentro dos colchetes, e o resultado deve ser integrado novamente em x.

Com base nessas informações e salientando que o cálculo de integral dupla nos remete ao cálculo de volume de sólidos, considere um cubo limitado pelos planos × = 5, y = 5 e pelos três planos coordenados, ou seja, esse possui arestas iguais a 5, sendo as arestas do cubo dadas em metros (m).

A partir dessas informações, pode-se afirmar que o volume desse sólido será?