Sejam a, b inteiros. Para n ≥ 1, provar que: mdc(a, b) = 1 se e somente se mdc (a^n, b^n) = 1.

Para provar que mdc(a, b) = 1 se e somente se mdc(a^n, b^n) = 1, podemos usar a propriedade de que o máximo divisor comum de dois números inteiros a e b é igual a 1 se e somente se a e b forem primos entre si. Se mdc(a, b) = 1, então a e b são primos entre si. Elevando ambos a n potência, temos a^n e b^n também serão primos entre si, pois não compartilham nenhum fator primo em comum. Por outro lado, se mdc(a, b) ≠ 1, ou seja, a e b não são primos entre si, então existirá pelo menos um fator primo comum a ambos. Ao elevar a^n e b^n, esses fatores primos comuns serão elevados à mesma potência n, o que significa que mdc(a^n, b^n) ≠ 1. Portanto, podemos concluir que mdc(a, b) = 1 se e somente se mdc(a^n, b^n) = 1.