A principal aplicação do conceito de integral é cálculo de área. Para tanto é necessário que calculemos as integrais de forma correta utilizando as...

Para calcular a integral dupla da função \( f(x,y) = 2ye^x \) compreendida pelas retas \( y=0 \) e \( y=1 \), podemos utilizar as regras de integração. Primeiro, integramos em relação a \( x \) e depois em relação a \( y \). \[ \int_0^1 \int_1^{e^x} 2y e^x \, dy \, dx \] Resolvendo a integral, obtemos: \[ \int_0^1 \left[ y^2 e^x \right]_1^{e^x} \, dx \] \[ \int_0^1 (e^{2x} - e^x) \, dx \] \[ \left[ \frac{1}{2} e^{2x} - e^x \right]_0^1 \] \[ \frac{1}{2} e^2 - e - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \] \[ \frac{1}{2} e^2 - e + \frac{1}{2} - 1 \] \[ \frac{1}{2} e^2 - e - \frac{1}{2} \] Portanto, a alternativa correta é a letra A) \( e - 2 \).