Considere a função f(x)=x+lnx definida no domínio D = {x∈R|x>0}. Seja g a função inversa de f. Utilizando a Regra da Cadeia, encontre g'(x) g'(x)=g...

Para encontrar a derivada da função inversa \( g(x) \) de \( f(x) = x + \ln(x) \), utilizando a Regra da Cadeia, precisamos seguir os seguintes passos: 1. Seja \( y = f(x) = x + \ln(x) \). 2. Troque \( x \) e \( y \) para encontrar a equação inversa: \( x = y + \ln(y) \). 3. Agora, derivamos implicitamente em relação a \( x \): \[ \frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(y + \ln(y)) \] \[ 1 = \frac{dy}{dx} + \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \] \[ 1 = \frac{dy}{dx}(1 + \frac{1}{y}) \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{1}{y}} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{1}{f(x)}} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x + \ln(x)}} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x + \ln(x)}} \] Portanto, a alternativa correta é: e) \( g'(x) = \frac{x \cdot g(x)}{1 + x} \)