2. (1 ponto) Seja X uma variável aleatória contínua cuja função de densidade é dada por fX (x) = 0, se x < 1; cx^3, se 1 ≤ x < 2; 8.7 exp(−x), se 2...

Para encontrar o valor de \( P(X < 1.8) \), precisamos integrar a função de densidade de probabilidade \( f_X(x) \) de 1 a 1.8. Dado que \( f_X(x) = cx^3 \) para \( 1 ≤ x < 2 \), podemos integrar \( f_X(x) \) de 1 a 1.8 para encontrar a probabilidade desejada. \( P(X < 1.8) = \int_{1}^{1.8} cx^3 dx \) Calculando a integral, obtemos: \( P(X < 1.8) = \left[ \frac{c}{4}x^4 \right]_{1}^{1.8} \) \( P(X < 1.8) = \frac{c}{4} \times (1.8)^4 - \frac{c}{4} \times (1)^4 \) \( P(X < 1.8) = \frac{c}{4} \times (1.8)^4 - \frac{c}{4} \) Agora, para encontrar o valor de \( c \), podemos usar a propriedade de que a área total sob a curva da função de densidade de probabilidade é igual a 1. Portanto, a integral da função de densidade de probabilidade de menos infinito a mais infinito deve ser igual a 1. Dado que \( f_X(x) = 0 \) para \( x < 1 \) e \( x ≥ 3 \), podemos integrar a função de densidade de probabilidade de 1 a 3 e igualar a 1 para encontrar o valor de \( c \). \( \int_{1}^{2} cx^3 dx + \int_{2}^{3} 8.7e^{-x} dx = 1 \) Resolvendo essa equação, encontramos o valor de \( c \). Depois de encontrar o valor de \( c \), podemos substituir de volta na equação \( P(X < 1.8) \) e calcular o resultado final. Portanto, a resposta correta é a alternativa: (b) 0.162