Para as Questões 1 e 2, considere a matriz C = 1 4 0 2 1 0 2 1 3 5 0 0 0 1 1 0 0 0 7 3 0 0 0 0 2 ∼ 1 4 0 2 1 0 2 1 3 5 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -4 0 0 0...

Para as Questões 1 e 2, considere a matriz C =
1 4 0 2 1
0 2 1 3 5
0 0 0 1 1
0 0 0 7 3
0 0 0 0 2
∼
1 4 0 2 1
0 2 1 3 5
0 0 0 1 1
0 0 0 0 -4
0 0 0 0 2
∼
1 4 0 2 1
0 2 1 3 5
0 0 0 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

Questão 1. (1,0 ponto) Considere as afirmações sobre C:
I. C não é invert́ıvel. Verdade. Podemos usar as várias equivalências de uma matriz ser invert́ıvel (e de mais de uma forma). Por exemplo, para ser C invert́ıvel C~x = ~0 deveria possuir somente a solução trivial (mas não é verdade porque a forma escalonada tem uma coluna que não é pivô – logo, infinitas soluções). Uma outra forma de fazer: para ser C invert́ıvel, deveria ser verdade que todo sistema C~x = ~b possui solução (o que não vale, por causa da última linha só de zeros na forma escalonada). Pense em outras maneiras olhando para o teorema de caracterização de matrizes invert́ıveis.
II. A transformação linear definida por T~x = C~x é injetiva. Falsa. Esta também é uma das equivalências. Se a matriz for quadrada, então ser injetiva ou sobrejetiva ou invert́ıvel é tudo equivalente.
III. dim NulC = 1. Verdade. A forma escalonada possui uma coluna que não é pivô. Isto corresponde a uma variável livre na solução do sistema homogêneo associado.
IV. dim ColC = 3. Falsa. Olhando para a forma escalonada, vemos que temos 4 colunas pivô e, portanto, dim ColC = 4.
Assinale a alternativa que contém todas as afirmações que são verdadeiras:
(a) I, II e III
(b) I, II e IV
(c) II, III e IV
(d) I e III
(e) III e IV

(a) I, II e III
(b) I, II e IV
(c) II, III e IV
(d) I e III
(e) III e IV