Para calcular o lucro da firma, precisamos seguir alguns passos: 1. Função de Produção: \( f(x_1, x_2) = 4 \ln(x_1) + 2 \ln(x_2) \) 2. Preços: - Preço do produto \( p = 20 \) - Preço do fator \( w_1 = 4 \) - Preço do fator \( w_2 = 2 \) 3. Maximização do Lucro: O lucro é dado por: \[ \pi = R - C \] onde \( R \) é a receita total e \( C \) é o custo total. 4. Receita Total: \[ R = p \cdot f(x_1, x_2) \] 5. Custo Total: \[ C = w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 \] 6. Maximização da Produção: Para maximizar a produção, a firma deve escolher \( x_1 \) e \( x_2 \) de forma que a razão entre os produtos marginais e os preços dos fatores seja igual: \[ \frac{PMg_{x_1}}{w_1} = \frac{PMg_{x_2}}{w_2} \] 7. Cálculo dos Produtos Marginais: - \( PMg_{x_1} = \frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{4}{x_1} \) - \( PMg_{x_2} = \frac{\partial f}{\partial x_2} = \frac{2}{x_2} \) 8. Igualando as Razões: \[ \frac{4/x_1}{4} = \frac{2/x_2}{2} \implies \frac{1}{x_1} = \frac{1}{x_2} \implies x_1 = x_2 \] 9. Substituindo: Se \( x_1 = x_2 = x \), então: \[ f(x, x) = 4 \ln(x) + 2 \ln(x) = 6 \ln(x) \] 10. Receita Total: \[ R = 20 \cdot 6 \ln(x) = 120 \ln(x) \] 11. Custo Total: \[ C = 4x + 2x = 6x \] 12. Lucro: \[ \pi = 120 \ln(x) - 6x \] Para encontrar o valor de \( x \) que maximiza o lucro, você pode derivar \( \pi \) em relação a \( x \) e igualar a zero, mas como o enunciado não fornece valores específicos para \( x_1 \) e \( x_2 \), não podemos calcular um lucro numérico exato. Se você tiver valores específicos para \( x_1 \) e \( x_2 \), podemos calcular o lucro. Caso contrário, a resposta final depende desses valores.