164 Unidade IV Vamos estudar alguns casos. 1) Todo ???? é ????. Utilizando diagramas de Venn‑Euler, essa relação mostra que o conjunto ???? está contido ...

164 Unidade IV Vamos estudar alguns casos. 1) Todo ???? é ????. Utilizando diagramas de Venn‑Euler, essa relação mostra que o conjunto ???? está contido no conjunto ????. Desse modo, ???? é subconjunto de ????, conforme demonstrado na figura a seguir. B A Figura 40 – Diagrama que representa a sentença “Todo ???? é ????” 2) Algum ???? é ????. Nesse caso, pensamos que o termo “algum” representa um elemento comum entre os conjuntos citados, ou seja, pertence à interseção entre os conjuntos ???? e ????. Temos, portanto, uma interseção não vazia entre os conjuntos ???? e ????, disposta graficamente a seguir. BA Elemento Figura 41 – Diagrama que representa a sentença “Algum ???? é ????” 3) Algum ???? não é ???? (ou não é verdade que todo ???? é ????). A sentença “Algum ???? não é ????” é equivalente à sentença “Não é verdade que todo ???? é ????”. Elas representam formas de negação da sentença “Todo ???? é ????”. entendermos melhor esse método, vamos analisar o argumento quantificado exposto a seguir. Todo engenheiro sabe matemática. Todo colaborador da empresa é engenheiro. Logo, todo colaborador da empresa sabe matemática. 166 Unidade IV Vamos chamar de ???? o conjunto dos engenheiros, de ???? o conjunto dos que sabem matemática e de ???? o conjunto dos colaboradores da empresa. Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: Todo engenheiro sabe matemática. Nesse caso, sabemos que o conjunto ???? dos engenheiros está contido no conjunto ???? dos que sabem matemática. Graficamente, temos o que segue. M E Figura 44 – Diagrama que representa a sentença “Todo engenheiro sabe matemática” Partiremos, agora, para a segunda premissa: Todo colaborador da empresa é engenheiro. Nesse caso, sabemos que o conjunto ???? dos colaboradores da empresa está contido no conjunto ???? dos engenheiros. Completando a figura anterior com os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue. M E C Figura 45 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto Com isso, montamos o cenário descrito pelas premissas do nosso argumento. Vamos, agora, analisar se a conclusão do nosso argumento corresponde com o cenário proposto ou não. Repare que o conjunto ???? está contido no conjunto ????. Isso nos permite afirmar que todo ???? é ????. Com isso, a conclusão “Logo, todo colaborador da empresa sabe matemática” é uma conclusão necessariamente verdadeira, quando consideramos verdadeiras as premissas. Isso significa que temos um argumento válido. Vamos propor, agora, um novo argumento para analisarmos, disposto a seguir. 167 LÓGICA Todos os ingleses são britânicos. Todos os londrinos são ingleses. Portanto, todos os britânicos são londrinos. Vamos chamar de ???? o conjunto dos ingleses, de ???? o conjunto dos britânicos e de ???? o conjunto dos londrinos. Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: Todos os ingleses são britânicos. Nesse caso, sabemos que o conjunto ???? dos ingleses está contido no conjunto ???? dos britânicos. Graficamente, temos o que segue. B I Figura 46 – Diagrama que representa a sentença “Todos os ingleses são britânicos” Vamos para a segunda premissa: Todos os londrinos são ingleses. Nesse caso, sabemos que o conjunto ???? dos londrinos está contido no conjunto ???? dos ingleses. Completando a figura anterior com os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue. B I L Figura 47 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto Com isso, montamos o cenário descrito pelas premissas do nosso argumento. Vamos, agora, analisar se a conclusão do nosso argumento corresponde com o cenário proposto ou não. Repare que o conjunto ???? está contido no conjunto ????. Isso nos permite afirmar que todo ???? é ????. No entanto, a conclusão “Portanto, todos os britânicos são londrinos” sugere que todo ???? é ????, ou seja, que o conjunto ???? está contido no conjunto ????. 168 Unidade IV Verificamos, pela disposição do diagrama, que isso não corresponde ao cenário proposto pelas premissas. Como as premissas não implicaram a conclusão, isso significa que temos um argumento inválido. Vamos acompanhar alguns exemplos de verificação de argumentos lógicos quantificados, utilizando os diagramas de Venn‑Euler. Exemplo de aplicação Exemplo 1. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir. Todos os estudantes de filosofia são estudiosos. Alguns estudantes de filosofia são loiros. Portanto, alguns loiros são estudiosos. Resolução Começaremos montando o diagrama da primeira premissa: todos os estudantes de filosofia são estudiosos. Nesse caso, sabemos que o conjunto ???? dos estudantes de filosofia está contido no conjunto ???? dos estudiosos. Graficamente, temos o que segue. E F Figura 48 – Diagrama que representa a sentença “Todos os estudantes de filosofia são estudiosos” Vamos para a segunda premissa: alguns estudantes de filosofia são loiros. Nesse caso, sabemos que há uma interseção não vazia entre o conjunto ???? dos estudantes de filosofia e o conjunto ???? dos loiros. Completando a figura anterior com os dados dessa segunda premissa, graficamente, temos o que segue: 169 LÓGICA E F L Figura 49 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto A região destacada demonstra a interseção entre os conjuntos ???? e ????. Note que todos os elementos dessa região destacada, necessariamente, pertencem também a ????. No momento em que o conjunto ???? entra em interseção com ????, ele também entra em interseção com ????. Desse modo, a conclusão “Portanto, alguns loiros são estudiosos” é necessariamente verdadeira, já que alguns ???? são ????. Temos, então, um argumento válido. Exemplo 2. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir. Toda cobra é um réptil. Existem répteis venenosos. Logo, algum réptil venenoso é uma cobra. Resolução Primeira premissa: toda cobra é um réptil. Se chamarmos de ???? o conjunto das cobras e de ???? o conjunto dos répteis, temos o que segue. R C Figura 50 – Diagrama que representa a sentença “Toda cobra é um réptil” Segunda premissa: existem répteis venenosos. Há uma interseção não vazia entre o conjunto ???? dos répteis e o conjunto ???? dos seres venenosos. Essa interseção pode acontecer em cenários diferentes. Vamos considerar dois deles, expostos a seguir. 170 Unidade IV Cenário 1: o conjunto ???? não toca o conjunto ????. R C V Figura 51 – Diagrama que representa o cenário 1 do argumento proposto Nesse cenário, há apenas répteis venenosos que não são cobras, considerando apenas as informações das premissas. Cenário 2: o conjunto ???? intersecta o conjunto ????. R C V Figura 52 – Diagrama que representa o cenário 2 do argumento proposto Nesse cenário, há pelo menos um elemento na região dos répteis venenosos que são cobras, destacada na figura. Como as premissas nos levam a possíveis cenários distintos, em que nem em todos eles a conclusão é verdadeira, não podemos afirmar que, necessariamente, a conclusão “Logo, algum réptil venenoso é uma cobra” é verdadeira. Como não garantimos que as premissas implicam a conclusão, temos um argumento inválido. Exemplo 3. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir. Todo filme é uma obra artística. Nenhuma obra artística é descartável. Logo, nenhum filme é descartável. 171 LÓGICA Resolução Primeira premissa: todo filme é uma obra artística. Se chamarmos de ???? o conjunto dos filmes e de ???? o conjunto das obras artísticas, temos o que segue. A F Figura 53 – Diagrama que representa a sentença “Todo filme é uma obra artística” Segunda premissa: nenhuma obra artística é descartável. O conjunto ???? das obras artísticas e o conjunto ???? dos elementos descartáveis não fazem interseção entre si (são disjuntos). Temos, então, o cenário seguinte: A F D Figura 54 – Diagrama que representa, de forma completa, o argumento proposto Vemos que o conjunto ???? não tem qualquer elemento em comum com o conjunto ????. Com isso, sabemos que a conclusão “Logo, nenhum filme é descartável” é verdadeira. Desse modo, temos um argumento válido. Exemplo 4. Verifique a validade do argumento quantificado a seguir. Alguns artistas são