Utilizando o resultado da derivação logarítmica, determine a derivada da função y = ln[sec(x) . tg(x)] em relação ao ângulo tangente horizonta. a)...

Para determinar a derivada da função \( y = \ln[\sec(x) \cdot \tan(x)] \) em relação ao ângulo tangente horizontal, podemos usar a regra do produto e a derivada do logaritmo natural. Vamos calcular: \( y = \ln[\sec(x) \cdot \tan(x)] \) \( y' = \frac{d}{dx}[\ln(\sec(x) \cdot \tan(x))] \) Aplicando a regra do produto, temos: \( y' = \frac{1}{\sec(x) \cdot \tan(x)} \cdot (\sec(x) \cdot \tan(x))' \) \( y' = \frac{1}{\sec(x) \cdot \tan(x)} \cdot (\sec(x) \cdot \tan(x))' \) Agora, derivamos \( \sec(x) \cdot \tan(x) \) em relação a \( x \): \( (\sec(x) \cdot \tan(x))' = \sec(x) \cdot \tan(x) \cdot (\sec(x))' + \sec(x) \cdot \tan(x) \cdot (\tan(x))' \) Para encontrar a derivada da secante e da tangente, podemos usar as derivadas trigonométricas. Portanto, a derivada da função \( y = \ln[\sec(x) \cdot \tan(x)] \) em relação ao ângulo tangente horizontal é dada por essa expressão.