Para encontrar o inverso do elemento \( x = 1 + \sqrt{7} \) no grupo \( A \) com a operação de multiplicação, precisamos encontrar um elemento \( y \in A \) tal que \( x \cdot y = 1 \). Vamos considerar \( y \) na forma \( y = a + b\sqrt{7} \), onde \( a, b \in \mathbb{Q} \). Assim, temos: \[ (1 + \sqrt{7})(a + b\sqrt{7}) = 1 \] Expandindo a multiplicação: \[ a + b\sqrt{7} + a\sqrt{7} + 7b = 1 \] Agrupando os termos: \[ (a + 7b) + (b + a)\sqrt{7} = 1 \] Para que essa igualdade seja verdadeira, devemos igualar os coeficientes: 1. \( a + 7b = 1 \) (coeficiente de 1) 2. \( b + a = 0 \) (coeficiente de \( \sqrt{7} \)) Agora, resolvemos o sistema de equações: Da segunda equação, temos \( a = -b \). Substituindo na primeira: \[ -b + 7b = 1 \implies 6b = 1 \implies b = \frac{1}{6} \] Substituindo \( b \) na equação \( a = -b \): \[ a = -\frac{1}{6} \] Portanto, o inverso de \( x = 1 + \sqrt{7} \) é: \[ y = a + b\sqrt{7} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{7} \] Assim, o inverso de \( 1 + \sqrt{7} \) no grupo \( A \) é: \[ -\frac{1}{6} + \frac{1}{6}\sqrt{7} \]