ociente Q(x) 5 x 2 1 2x 2 3 e resto nulo, do teorema de Descartes, tem-se: P(x) 5 (x 2 1) ? Q(x) 1 0. Assim, a equação pode ser escrita com dois fa...

ociente Q(x) 5 x 2 1 2x 2 3 e resto nulo, do teorema de Descartes, tem-se: P(x) 5 (x 2 1) ? Q(x) 1 0. Assim, a equação pode ser escrita com dois fatores, um do 1º e outro do 2º grau. Então: (x 2 1) ? (x2 1 2x 2 3) 5 0 Do segundo fator, temos: D 5 22 2  ? 1 ? (23) 5  1 12 5 1 5 2 6 ? 5 2 6 Í Ç 5 5 2 2 16 2 1 2 4 2 1 ou 3 2, 3x Usando a fórmula quadrática para obter as raízes do fator do 2º grau, tem-se: Q(x) 5 (x 1 3) ? (x 2 1) Substituindo a forma fatorada do polinômio Q(x) na equação cúbica original, encontra-se: (x 2 1) ? (x 1 3) ? (x 2 1) 5 0 Finalmente, usando a potenciação para abreviar a multiplicação dos fatores iguais, a equação pode ser representada por (x 1 3) ? (x 2 1)2 5 0. Lendo a equação nesse formato, podemos concluir que 3 é raiz simples e 1 é raiz dupla da equação. Equações polinomiais com coeficientes reais Quando todos os coeficientes de uma equação polinomial são números reais, temos importantes relações entre o grau da equação e a existência de soluções reais. Sendo n . 1 o grau de uma equação polinomial, temos duas situações distintas: Como o número 1 é o menor natural ímpar, pode-se concluir que toda equação polinomial de grau ímpar possui pelo menos uma solução real. O teorema que veremos a seguir é o que garante todas essas afirmacoes. Teorema das raízes complexas Como a igualdade z 5 z só ocorre quando z é um número real (b 5 0), pode-se concluir deste teorema que o número de raízes não reais de uma equação polinomial de coeficientes reais é sempre par.