Qual é o valor da integral definida de \int _0^3\:\:\sqrt{x+1}dx ? a)-14/3 b)-2/3 c)14/3 d)2/3 e)0

Para resolver essa integral definida, primeiro precisamos encontrar a primitiva da função \(\sqrt{x+1}\). A primitiva de \(\sqrt{x+1}\) é \(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\). Agora, para encontrar o valor da integral definida de \(\int _0^3\:\:\sqrt{x+1}dx\), basta substituir os limites de integração na primitiva e calcular a diferença. \(\int _0^3\:\:\sqrt{x+1}dx = \left[\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}\right]_0^3\) Substituindo os limites de integração: \(\left[\frac{2}{3}(3+1)^{\frac{3}{2}}\right] - \left[\frac{2}{3}(0+1)^{\frac{3}{2}}\right]\) \(\left[\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}\right] - \left[\frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}}\right]\) \(\left[\frac{2}{3}(8)\right] - \left[\frac{2}{3}(1)\right]\) \(\frac{16}{3} - \frac{2}{3} = \frac{14}{3}\) Portanto, a alternativa correta é c) 14/3.