Ao jogar um dado, cada resultado possível tem probabilidade 6 1. A probabilidade de ocorrer um número ímpar, ou seja, a probabilidade de ocorrer o evento A = {1, 3, 5} é: P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = = 6 1 + 6 1 + 6 1 = 6 3 = 2 1. Já a probabilidade de ocorrer o evento B = {5, 6} é: P(B) = P(5) + P(6) = 6 1 + 6 1 = 6 2 = 3 1. CONSEQUÊNCIA IMPORTANTE Quando o espaço amostral é equiprovável, ou seja, o experimento aleatório tem “n” resultados possíveis, todos com chances iguais de ocorrer, se um evento “A” é composto de “k” elementos, então chamamos de probabilidade de um evento “A” (A  U) o número real P(A), tal que: P(A) = n(U) n(A) onde P(A) = um número real. n(A) = número de elementos de A. n(U) = número de elementos de U. Exemplos: 01) Ao sortear ao acaso um dos números naturais de 0 a 99, qual a probabilidade de ser sorteado um número maior que 50? Solução: U = {0, 1, 2, 3, ..., 99} Neste caso n(U) = 100 O evento A formado pelos números maiores que 50 é A = {51, 52, 53, ..., 99} Temos n(A) = 49 Sendo o espaço amostral equiprovável, temos: P(A) = 100 49 = n(U) n(A) 02) Considerando o lançamento de uma moeda e o evento A obter “cara”, temos: U = {Ca, Co}  n(U) 2 A = {Ca}  n(A) = 1 Logo: P(A) = 2 1 Esse resultado nos permite afirmar que, ao lançarmos uma moeda equilibrada, temos 50% de chance de que ela caia com a “cara” para cima. PROPRIEDADES DA PROBABILIDADE Considerando o lançamento de um dado temos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(U) = 6 * As probabilidades de ocorrência de um evento qualquer são: • obter um número par na face superior. A = {2, 4, 6}  n(A) 3 Então P(A) = 2 1 = 6 3 • obter um número menor ou igual a 6 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}  n(B) = 6 Então P(B) = 1 = 6 6 • obter um lado “k” qualquer C = {k}  n(C) = 1 Então P(C) = 6 1 • obter um número maior que 6 D =   n(D) = 0 Então P(D) = 6 0 = 0 Pelos exemplos vistos acima concluímos que: 1. Qualquer que seja o evento A, a probabilidade de ocorrer A é um número real do intervalo [0, 1]. 0 ≤ P(A) ≤ 1 2. A probabilidade de ocorrer um evento certo é igual a 1. P(U) = 1 3. A probabilidade de ocorrer um evento impossível é igual a 0. P() = 0 4. Como 0 = 0% e 1 = 100%, a probabilidade de um evento ocorrer pode ser dada em porcentagem, isto é, qualquer probabilidade estará sempre entre 0% e 100%. 5. A probabilidade de ocorrer um evento elementar qualquer é (lembrando que n(A) = 1). P(A) = n 1 6. Essas definições supõem que todos os elementos do espaço amostral sejam igualmente prováveis (tenham a mesma chance de ocorrer), isto é, sejam equiprováveis. PROBABILIDADE DE NÃO OCORRER UM EVENTO Seja A um evento qualquer formado de “k” resultados dentre “n” possíveis. A probabilidade de não ocorrer “A” é a probabilidade de um dos “n - k” resultados possíveis que não pertencem a “A”. Portanto, a probabilidade de não ocorrer “A” é a probabilidade de ocorrer o evento complementar A . Como a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é 1, temos que: P( A ) = 1 - P(A) Exemplos: 1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Extraindo-se uma delas ao acaso, a probabilidade de sair a bola 7 é 10 1. Logo, a probabilidade de não sair a bola 7 é 1 - 10 1, que é igual a 10 9. 2) Se a probabilidade de um atirador acertar um alvo é de 0,60 (60%), então a probabilidade de não acertar é 1 - 0,40 que é igual a 0,40 (40%). PROBABILIDADE DE OCORRER O EVENTO A OU B Dados dois eventos “A” e “B”, calcular a probabilidade de ocorrer A ou ocorrer B significa calcular a probabilidade da união entre dois eventos “A  B”. Consideremos dois casos distintos: * A  B =  (eventos mutuamente exclusivos) Quando A e B são eventos mutuamente exclusivos “A  B = ”, a ocorrência de um deles implica a não ocorrência do outro. Neste caso, como A e B não têm elemento comum, e A  B é formado reunindo-se num só conjunto os elementos de A e de B, temos que: Se A e B são eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de ocorrer A ou B é igual à soma da probabilidade de A com a de B. P(A  B) = P(A) + P(B) * A  B   Neste caso, a probabilidade de ocorrer “A” ou “B” é igual à soma da probabilidade de A com a de B, menos a probabilidade da interseção A  B. P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) Exemplo: No sorteio de um número natural de 1 a 100, a probabilidade de sair um número múltiplo de 10 é a probabilidade do evento A = {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100}. Temos P(A) = 10 1 = 100 10. A probabilidade de sair um múltiplo de 15 é a probabilidade do evento B = {15, 30, 45, 60, 75, 90}. Temos P(B) = 50 3 = 100 6 Como A  B = {30, 60 90}, temos P(A  B) = 100 3. Então, P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B) P(A  B) = 100 13 = 100 3 - 100 6 + 100 10 Assim, a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou de 15 é igual a 100 13. PROBABILIDADE CONDICIONAL Consideremos dois eventos “A” e “B” de um espaço amostral U. A probabilidade de ocorrer o evento “B” condicionada a “A” é a probabilidade de ocorrer “B” dado que “A” já ocorreu. Indica-se P(B / A) que se lê: “probabilidade de B dado A”. Exemplo: Em um sorteio, cujos bilhetes têm números inteiros de 1 a 100, o apresentador anuncia que o número sorteado é par. Um concorrente possui três bilhetes com números pares. Qual a probabilidade desse concorrente vir a ganhar o prêmio? O problema envolve um condicionamento. Observe que, ao anunciar que o número sorteado é par, o espaço amostral (que era formado pelos cem números) sofre uma restrição: “Passamos a ter um novo espaço amostral, agora formado somente pelos números pares. Então, a probabilidade do concorrente ganhar, que era de 100 3, passou a ser p = 50 3 = 0,06