Calcular a integral indefinida por substituição trigonométrica: ∫ 1/x2 √(4− x2) dx A − √(4− x2) + C B − √(4− x2) 4x + C C − √(x2) x + C D √(9− x2)...

Para resolver essa integral por substituição trigonométrica, podemos fazer a substituição \( x = 2\sin(\theta) \). Assim, \( dx = 2\cos(\theta) d\theta \). Substituindo na integral dada, temos: \[ \int \frac{1}{x^2} \sqrt{4 - x^2} dx = \int \frac{1}{(2\sin(\theta))^2} \sqrt{4 - (2\sin(\theta))^2} 2\cos(\theta) d\theta \] \[ = \int \frac{1}{4\sin^2(\theta)} \sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} 2\cos(\theta) d\theta \] \[ = \int \frac{1}{4\sin^2(\theta)} \sqrt{4\cos^2(\theta)} 2\cos(\theta) d\theta \] \[ = \int \frac{1}{4\sin^2(\theta)} 2\cos(\theta) \cdot 2\cos(\theta) d\theta \] \[ = \int \frac{1}{2\sin^2(\theta)} 2\cos^2(\theta) d\theta \] \[ = \int \csc^2(\theta) \cdot 2\cos^2(\theta) d\theta \] \[ = \int \csc^2(\theta) \cdot 2(1 - \sin^2(\theta)) d\theta \] \[ = \int \csc^2(\theta) \cdot 2\cos^2(\theta) d\theta \] \[ = \int 2\csc^2(\theta) d\theta - \int 2\csc^2(\theta)\sin^2(\theta) d\theta \] \[ = -2\cot(\theta) - 2\csc(\theta) + C \] Portanto, a resposta correta é a alternativa: A) - √(4 - x^2) + C