f(x)= k * x ^ 2 ,0<= x<=1\\ n MÓDULO 1 MÓDULO 2 Determine o valor de k para que essa função seja, de fato, uma função densidade de probabilidade...

Para que a função \( f(x) = k \cdot x^2 \) seja uma função densidade de probabilidade (fdp), ela deve satisfazer duas condições: 1. A integral da função sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1: \[ \int_{0}^{1} k \cdot x^2 \, dx = 1 \] 2. A função deve ser não negativa para todo \( x \) no intervalo dado: \[ k \cdot x^2 \geq 0, \text{ para } 0 \leq x \leq 1 \] Para determinar o valor de \( k \), primeiro resolvemos a integral: \[ \int_{0}^{1} k \cdot x^2 \, dx = k \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = k \cdot \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{k}{3} = 1 \] Portanto, \( k = 3 \) para que a função seja uma função densidade de probabilidade.