O módulo do complexo u = ( 1 − 2 i ) 4 . ( 1 − i ) 2 X ( 1 + i ) 2 ( 2 − i ) 4 ???? = ( 1 − 2 ???? ) 4 . ( 1 − ???? ) 2 ???? ( 1 + ???? ) 2 ( 2 − ???? ) 4 vale:

Question

O módulo do complexo  u = ( 1   −   2 i ) 4 . ( 1   −   i ) 2   X   ( 1   +   i ) 2 ( 2   −   i ) 4 ???? = ( 1   −   2 ???? ) 4 . ( 1   −   ???? ) 2   ????...

Ed · Answer

Para calcular o módulo do número complexo $ u = (1 - 2i)^4 \cdot (1 - i)^2 \cdot (1 + i)^2 \cdot (2 - i)^4 $, você deve calcular o módulo de cada fator e, em seguida, elevar ao expoente correspondente.

1. **Cálculo dos módulos**:
   - $ |1 - 2i| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} $
   - $ |1 - i| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $
   - $ |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} $
   - $ |2 - i| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5} $

2. **Aplicando os expoentes**:
   - $ |(1 - 2i)^4| = (\sqrt{5})^4 = 25 $
   - $ |(1 - i)^2| = (\sqrt{2})^2 = 2 $
   - $ |(1 + i)^2| = (\sqrt{2})^2 = 2 $
   - $ |(2 - i)^4| = (\sqrt{5})^4 = 25 $

3. **Multiplicando os módulos**:
   $$
   |u| = 25 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25 = 25^2 \cdot 2^2 = 625 \cdot 4 = 2500
   $$

Portanto, o módulo do complexo $ u $ é $ 2500 $.

Ed · Answer

Para resolver essa expressão, primeiro precisamos simplificar cada parte dela. Vamos calcular o módulo do complexo $ u $ e do complexo $ v $, e depois multiplicá-los para encontrar o resultado final.

Dado $ u = (1 - 2i)^4 \cdot (1 - i)^2 $ e $ v = (1 + i)^2 \cdot (2 - i)^4 $, podemos calcular o módulo de $ u $ e $ v $ da seguinte forma:

Para $ u $:
$ (1 - 2i)^4 = (1^2 + (-2)^2)^2 = 5^2 = 25 $
$ (1 - i)^2 = (1^2 + (-1)^2)^2 = 2^2 = 4 $
Portanto, o módulo de $ u $ é $ \sqrt{25 \cdot 4} = \sqrt{100} = 10 $.

Para $ v $:
$ (1 + i)^2 = (1^2 + 1^2)^2 = 2^2 = 4 $
$ (2 - i)^4 = (2^2 + (-1)^2)^4 = 5^4 = 625 $
Portanto, o módulo de $ v $ é $ \sqrt{4 \cdot 625} = \sqrt{2500} = 50 $.

Agora, multiplicando os módulos de $ u $ e $ v $, temos:
$ 10 \cdot 50 = 500 $.

Portanto, o valor da expressão é $ 500 $.

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